怎样用分割和上下和夹住未知总量？¶

先备知识¶

本单元使用上确界、下确界、有限求和与不等式。设 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 有界，且 \(a<b\)。有界性保证 \(f\) 在每个非空子区间上的上确界和下确界都是有限实数；并不要求这些界一定由某个点取得。

第 18 章的积分号表示原函数族。本章重新从有限分割出发，暂不调用任何求原函数公式。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

定义分割、标记分割、子区间长度和网格；
写出 Riemann 取样和以及 Darboux 上和、下和；
证明上下和夹住同一分割上的所有取样和；
证明加细使下和不减、上和不增；
用公共加细比较任意两个分割；
通过显式有限和判断夹逼间隙能否缩小。

牵引问题¶

把 \([a,b]\) 切成小区间，在每段任取一点 \(\xi_i\)，构造

\[ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}). \]

如果换一组取样点，和会改变。怎样不用逐一检查无限多种取样方式，却能同时控制所有可能的和？

探索与猜想¶

在第 \(i\) 个子区间上，无论怎样选择 \(\xi_i\)，都有

\[ \inf f\le f(\xi_i)\le\sup f. \]

乘以非负的子区间长度再相加，就能得到一个与具体取样无关的下界和上界。若分割越来越细，上下界之间的间隙有机会缩小。这正是 Darboux 上下和的出发点。

概念与理论¶

分割、标记与网格¶

区间 \([a,b]\) 的一个分割是有限点集

\[ P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}, \qquad a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b. \]

记第 \(i\) 个子区间长度为

\[ \Delta x_i=x_i-x_{i-1}>0. \]

若在每个 \([x_{i-1},x_i]\) 中选择一个点

\[ \xi_i\in[x_{i-1},x_i], \]

则称 \((P,\xi)\) 为一个标记分割。分割的网格定义为

\[ \|P\|=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i. \]

网格只记录最长子区间。它很小表示每一段都短，但不说明分割包含哪些指定点。

对应的 Riemann 取样和为

\[ S(f;P,\xi) =\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i. \]

此处先把它视为待控制的有限近似量，不把某一种特殊标记的极限提前当作积分定义。

Darboux 上和与下和¶

对每个子区间定义

\[ m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x), \qquad M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x). \]

称

\[ L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i \]

为 \(f\) 关于 \(P\) 的 Darboux 下和，称

\[ U(f,P)=\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i \]

为 Darboux 上和。

由 \(m_i\le f(\xi_i)\le M_i\) 逐项相加，得到

\[ L(f,P)\le S(f;P,\xi)\le U(f,P). \]

这条不等式同时控制同一分割上的所有取样点选择。

若分割 \(P'\) 包含 \(P\) 的全部点，称 \(P'\) 是 \(P\) 的加细，记作 \(P'\succeq P\)。

定理。 若 \(P'\succeq P\)，则

\[ L(f,P)\le L(f,P')\le U(f,P')\le U(f,P). \]

证明。 先设 \(P'\) 只在 \(P\) 的一个子区间 \([u,v]\) 中插入一点 \(c\)。记原区间上的下确界为 \(m\)，两个新区间上的下确界为 \(m_1,m_2\)。由于新区间都包含在原区间中，

\[ m\le m_1,\qquad m\le m_2. \]

于是

\[ m(v-u) =m(c-u)+m(v-c) \le m_1(c-u)+m_2(v-c). \]

其他子区间的贡献不变，故下和不减。对上确界有 \(M_1,M_2\le M\)，同理得到上和不增。

一般加细只增加有限个点。逐点插入并有限次使用上述结论，即得

\[ L(f,P)\le L(f,P'),\qquad U(f,P')\le U(f,P). \]

而任意分割都有 \(L(f,P')\le U(f,P')\)。证毕。

公共加细¶

任意两个分割 \(P,Q\) 的并集

\[ R=P\cup Q \]

按大小排列后仍是 \([a,b]\) 的有限分割，并且同时加细 \(P,Q\)，称为它们的 公共加细。

加细单调性给出

\[ L(f,P)\le L(f,R)\le U(f,R)\le U(f,Q). \]

因此对任意两个分割都有

\[ L(f,P)\le U(f,Q). \]

注意这里不要求 \(P\) 与 \(Q\) 相互加细；公共加细正是跨分割比较的桥梁。

下积分与上积分¶

所有下和组成一个有上界的实数集合，所有上和组成一个有下界的实数集合。定义

\[ \underline{\int_a^b}f =\sup_P L(f,P), \qquad \overline{\int_a^b}f =\inf_P U(f,P). \]

由任意 \(L(f,P)\le U(f,Q)\) 可得

\[ \underline{\int_a^b}f \le \overline{\int_a^b}f. \]

何时两者相等，以及这与标记和的取样无关极限有什么关系，留到下一单元证明。

例题与迁移¶

例 1：线性函数的等距分割¶

对 \(f(x)=x\) 在 \([0,1]\) 上取等距分割

\[ P_n=\left\{0,\frac1n,\ldots,\frac{n-1}{n},1\right\}. \]

函数递增，所以第 \(i\) 段的下确界、上确界分别为

\[ m_i=\frac{i-1}{n},\qquad M_i=\frac{i}{n}, \]

且 \(\Delta x_i=1/n\)。因此

\[ L(f,P_n) =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}(i-1) =\frac{n-1}{2n}, \]

\[ U(f,P_n) =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}i =\frac{n+1}{2n}. \]

所以

\[ U(f,P_n)-L(f,P_n)=\frac1n. \]

答案

任意标记取样和都位于

\[ \frac{n-1}{2n} \le S(f;P_n,\xi) \le\frac{n+1}{2n} \]

之间。上下端点都趋向 \(1/2\)，但下一单元才把这种现象提升为一般定义。

例 2：单点尖峰怎样被短区间隔离¶

固定 \(c\in(0,1)\)，定义

\[ h(x)= \begin{cases} 1,&x=c,\\ 0,&x\ne c. \end{cases} \]

给定 \(0<\eta<\min\{c,1-c\}\)，取包含

\[ 0<c-\eta<c<c+\eta<1 \]

的分割。除 \([c-\eta,c]\) 与 \([c,c+\eta]\) 外，每个子区间上 \(h\equiv0\)。由于闭子区间两侧都可能包含 \(c\)，稳妥估计为

\[ L(h,P)=0,\qquad U(h,P)\le 2\eta. \]

答案

异常值的高度为一，但它只影响总长度 \(2\eta\) 的区间。令 \(\eta\) 变小即可压小上下和差；不能仅凭“只有一个异常点”省略长度估计。

例 3：同一分割上的不同标记¶

对 \(f(x)=x^2\) 和分割 \(P=\{0,1/2,1\}\)，下和与上和为

\[ L(f,P) =0\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac12 =\frac18, \]

\[ U(f,P) =\frac14\cdot\frac12+1\cdot\frac12 =\frac58. \]

若取中点标记 \(1/4,3/4\)，则

\[ S(f;P,\xi) =\frac12\left(\frac1{16}+\frac9{16}\right) =\frac5{16}, \]

确实满足 \(1/8\le5/16\le5/8\)。

答案

左端点、右端点和中点会给出不同有限和，但都不能越过同一分割的上下和。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

若 \(\|Q\|<10^{-3}\)，能否断言 \(Q\) 加细分割 \(P=\{0,1/2,1\}\)？

答案

不能。网格只控制最长子区间；\(Q\) 可能完全不含 \(1/2\)。应使用 \(P\cup Q\) 构造公共加细。

即时检验 2¶

为什么一般有界函数的 \(M_i,m_i\) 使用上、下确界，而不写最大、最小值？

答案

有界函数不一定连续，因而未必在闭子区间上取得最大、最小值；上确界和下确界仍然存在且足以建立夹逼。

习题与答案¶

练习 1：识别分割数据¶

对 \(P=\{0,1/4,3/4,1\}\)，写出所有 \(\Delta x_i\) 和 \(\|P\|\)，并判断 \(\xi=(1/8,1/2,7/8)\) 是否给出合法标记分割。

答案

三段长度依次为 \(1/4,1/2,1/4\)，所以 \(\|P\|=1/2\)。三个标记分别位于 \([0,1/4]\)、\([1/4,3/4]\)、\([3/4,1]\)，因此合法。

练习 2：计算一次标记和¶

对 \(f(x)=2x+1\)、\(P=\{0,1/2,1\}\) 和标记 \(\xi_1=1/4,\xi_2=3/4\)，计算 \(S(f;P,\xi)\)。

答案

\(f(1/4)=3/2,\ f(3/4)=5/2\)，两段长度均为 \(1/2\)，故

\[ S=\frac32\cdot\frac12+\frac52\cdot\frac12=2. \]

练习 3：递减函数的上下和¶

对 \(f(x)=1-x\) 在 \([0,1]\) 上使用 \(n\) 等分，求 \(U-L\)。

答案

每段上、下确界之差为 \(1/n\)，再乘段长 \(1/n\)，每段贡献 \(1/n^2\)； \(n\) 段合计

\[ U-L=\frac1n. \]

练习 4：插入一个分点¶

设 \(P' = P\cup\{c\}\)，其中 \(c\) 位于 \(P\) 的某个子区间内部。说明为什么加细前后所有其他子区间的上下和贡献完全相同。

答案

其他子区间的端点集合没有改变，函数在这些区间上的上、下确界和区间长度也没有改变；只有包含 \(c\) 的旧区间被分成两段。因此证明可局部化到这一段。

练习 5：构造公共加细¶

对

\[ P=\{0,1/3,1\},\qquad Q=\{0,1/2,3/4,1\}, \]

写出公共加细，并给出连接 \(L(f,P)\) 与 \(U(f,Q)\) 的不等式链。

答案

公共加细为

\[ R=\{0,1/3,1/2,3/4,1\}. \]

因为 \(R\succeq P,Q\)，