Hessian 怎样给出二阶必要与充分条件？¶

先备知识¶

掌握 Hessian、Taylor 二次模型、对称矩阵正定性与驻点。

学习目标¶

1. 分清二阶必要条件和二阶充分条件；2. 分类非退化驻点；3. 处理半正定退化情形。

牵引问题¶

Hessian 的符号何时能定案，何时只能说“信息不足”？

探索与猜想¶

在驻点 \(a\)，Taylor 公式的线性项消失：

若二次型在所有非零方向严格同号，它压倒余项；若某些方向为零，余项可能决定结论。

概念与理论¶

二阶必要条件¶

若 \(f\) 在内点 \(a\) 二次可微且 \(a\) 为局部最小点，则

即 Hessian 半正定。对局部最大点则半负定。证明沿每条直线应用一元二阶必要条件。

二阶充分条件¶

若 \(\nabla f(a)=0\)，且 Hessian 正定，则 \(a\) 是严格局部最小点；负定则为严格局部 最大点。正定性在单位球面紧集上给 \(h^\mathsf THh\ge m\|h\|^2\)（\(m>0\)），而 Peano 余项最终小于 \(m\|h\|^2/4\)。这才闭合充分性证明。

若 Hessian 不定，存在正负方向，驻点为鞍点。若仅半正定或半负定，则 半正定不能判定：高阶项可能产生最小、最大或鞍点。

例题与迁移¶

例 1：非退化极小¶

\(f=x^2+2y^2\) 的原点梯度为零，Hessian 为 \(\operatorname{diag}(2,4)\) 正定， 故原点为严格局部最小点。

例 2：同一零 Hessian，不同结论¶

\(x^4+y^4\) 在原点为严格最小；\(x^4-y^4\) 在原点为鞍点。二者原点 Hessian 都为零， 展示了“半正定不能判定”。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

局部最小点的 Hessian 必须正定吗？

即时检验 2¶

Hessian 不定时为什么是鞍点？

常见误区与后续¶

• 使用 Hessian 前先验证驻点条件。
• 正定是充分条件，半正定通常不够。
• 二阶判别是局部结论，不自动给全局最优。

习题与答案¶

习题 1¶

分类 \(x^2+y^2\) 的原点。

习题 2¶

分类 \(x^2-y^2\) 的原点。

习题 3¶

分类 \(-x^2-3y^2\) 的原点。

习题 4¶

\(x^4+y^4\) 为什么不能靠 Hessian 定案？

习题 5¶

局部最小点为何推出每个方向二阶导数非负？

习题 6¶

二维对称矩阵正定的常用判据是什么？

习题 7¶

正定 Hessian 是否证明全局最小？

习题 8¶

为何充分性证明需要余项控制？

习题 9¶

\(x^2\) 在二维中视为 \(f(x,y)=x^2\)，原点 Hessian 能否判定严格极小？

习题 10¶

给出零 Hessian 但为鞍点的例子。