连续偏导为什么足以推出可微？¶
先备知识¶
掌握 Fréchet 定义、一元微积分基本定理和偏导数。
学习目标¶
- 证明连续偏导是可微的充分条件；2. 看清线段与邻域前提；3. 明确该条件不是必要条件。
牵引问题¶
逐方向信息何时能拼成统一线性模型？关键不是“偏导存在”，而是偏导在邻域内怎样变化。
探索与猜想¶
若 \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R\) 的偏导在 \(a\) 附近连续，可沿坐标折线逐项使用一元 中值定理，也可沿线段 \(a+th\) 积分梯度变化。
概念与理论¶
连续偏导判据¶
若 \(f\) 在 \(a\) 的一个开邻域内各偏导存在，并在 \(a\) 连续，则 \(f\) 在 \(a\) Fréchet 可微，且
证明。 取足够小的 \(h\)，使线段 \(a+th\) 完全位于该邻域。令 \(\phi(t)=f(a+th)\)。一元基本定理给
减去 \(\nabla f(a)\cdot h\) 后取绝对值：
向量值函数逐分量应用同一论证。
这是充分条件，但不是必要条件。例如一元可微函数的导数可以在该点不连续； 把它视为只依赖第一坐标的多元函数，就得到可微但偏导不连续的例子。
例题与迁移¶
例 1：多项式¶
多项式的偏导仍是多项式，处处连续，因此多项式处处 Fréchet 可微。
例 2：分段函数¶
对分段函数，先验证邻域内偏导存在与连续；只算出原点偏导值不足以调用判据。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
证明中为何要求线段留在定义域？
答案
因为 \(\phi(t)=f(a+th)\) 必须在整个 \([0,1]\) 上有定义并可用基本定理。
即时检验 2¶
偏导在一点存在是否满足判据？
答案
不满足；判据要求邻域内存在，并在该点具有统一连续控制。
常见误区与后续¶
- \(C^1\Rightarrow\) 可微，不是可微 \(\Rightarrow C^1\)。
- 定义域若非开集，应改用相对增量或延拓，不能直接套开邻域版本。
- 证明使用的是偏导变化的统一控制，不是形式矩阵。
习题与答案¶
习题 1¶
证明 \(f(x,y)=e^{xy}\) 处处可微。
答案
两偏导 \(ye^{xy},xe^{xy}\) 连续，应用判据。
习题 2¶
写出上一函数的微分。
答案
\(Df(x,y)(h,k)=e^{xy}(yh+xk)\)。
习题 3¶
判据为何比偏导存在强？
答案
它额外要求邻域信息和偏导连续，从而控制所有方向的余项。
习题 4¶
证明 \(C^1\) 映射连续。
答案
判据先给可微，再由可微必连续。
习题 5¶
向量值函数怎样应用判据？
答案
对每个分量证明可微，再把各分量线性映射组成一个矩阵。
习题 6¶
为什么有限个分量余项可统一？
答案
输出维数有限，各分量小量可由 Euclid 范数合并。
习题 7¶
给出可微但导数不连续的一元函数。
答案
\(f(x)=x^2\sin(1/x^2)\)（原点为零）可微，但导数在原点附近不连续。
习题 8¶
线段积分证明需要什么正则性？
答案
线段邻域内偏导存在，并有足够连续性使复合的一元导数可积且基本定理适用。
习题 9¶
若偏导仅有界，能否直接套本定理？
答案
不能；有界不保证偏导趋于在 \(a\) 的值，余项比值未必趋零。
小结¶
连续偏导把逐坐标信息升级为统一 Fréchet 微分。它是方便而强的充分条件，不是可微 的定义或必要条件。