外测度为何单调并满足可数次可加性？¶

先备知识¶

熟悉外测度定义、可数并和几何级数。

学习目标¶

从覆盖定义推出外测度的三条公理。

牵引问题¶

对每个集合分别选近优覆盖，怎样控制可数多个误差的总和？

探索与猜想¶

把总误差 \(\varepsilon\) 分成 \(\varepsilon/2^n\)，再把双重可数族重编号。

概念与理论¶

障碍¶

下确界未必达到，不能声称每个集合都有最优覆盖。

证明路线¶

使用近优覆盖和可求和误差预算。

逐步证明¶

空集由空覆盖得到 (m^(\varnothing)=0)。若 (A\subseteq B)，每个 (B) 的覆盖也 覆盖 (A)，所以候选族包含关系给出单调性 (m^(A)\le m^*(B))。

对任意 (E_n\subseteq\mathbb R) 和 \(\varepsilon>0\)，若右端有限，为每个 (n) 选择 覆盖 \(\{I_{n,k}\}_{k\ge1}\)，使

双重可数族覆盖 \(\bigcup_nE_n\)，重编号后得到

令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得到可数次可加性（通常称可数次次可加性）。右端为 \(+\infty\) 时不等式自动成立。

假设用在何处¶

\(\varepsilon/2^n\) 保证总误差不超过 \(\varepsilon\)；双重可数族仍可数保证它是允许覆盖。

失败边界¶

这里只得到“\(\le\)”。任意集合上等号会失败；可数可加要限制到下一章的可测集。

例题与迁移¶

例 1：有限并¶

取 (E_n=\varnothing)（(n>2)），立即得到 (m^(A\cup B)\le m^(A)+m^*(B))。

例 2：零测集之并¶

若每个 (m^*(E_n)=0)，则可数次可加性给出并集外测度为 0。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么不能给每项相同的 \(\varepsilon\)？

即时检验 2¶

本定理是否证明不交集合外测度可加？

常见误区与后续¶

• 外测度的“次可加”不是测度的“可加”。
• 下一章用 Carathéodory 判据筛出能够产生等号的集合。

习题与答案¶

习题 1¶

证明空集外测度为零。

习题 2¶

单调性使用哪个覆盖族包含关系？

习题 3¶

计算 \(\sum_{n\ge1}\varepsilon/2^n\)。

习题 4¶

为何需要近优覆盖？

习题 5¶

双重可数族为何可重编号？

习题 6¶

右端无穷时为何无需选覆盖？

习题 7¶

写出两个集合的次可加式。

习题 8¶

可数个零测集之并是什么？

习题 9¶

单调性与次可加性谁依赖误差预算？

习题 10¶

本单元是否已经得到 Lebesgue 测度？