第 11 章：闭区间上的整体性质¶
第 10 章建立的是逐点局部控制。本章调用第二部 Bolzano–Weierstrass 定理，把闭区间 中的任意点列压缩为收敛到区间内一点的子列，再把这一机制传给连续函数。
本章问题¶
为什么局部连续能够在闭区间上阻止函数值逃向无穷？上、下确界为什么会被实际取到？ 每一点各自拥有的控制半径，何时能升级为全区间共用的半径？
证明主线¶
\[
\text{Bolzano–Weierstrass}+\text{闭性}
\Longrightarrow \text{闭区间序列紧致}
\Longrightarrow \text{有界与最值}
\Longrightarrow \text{一致连续}.
\]
开覆盖语言只在11.1末尾作为第七部的选读前瞻，不承担本章任何核心证明。
学习路径¶
本章共3个核心单元，6学时（理论5，应用1）。
| 次序 | 学习单元 | 核心产出 | 学时 |
|---|---|---|---|
| 11.1 | 为什么闭区间中的数列总有收敛子列？ | 序列紧致性与闭区间定理 | 2 |
| 11.2 | 连续函数为何一定有界并取得最值？ | 有界性与最值定理 | 2 |
| 11.3 | 局部连续何时升级为全局一致控制？ | 一致连续与 Heine–Cantor | 2 |
章末接口¶
这些整体定理只提供存在与统一控制，并未给出零点、解的唯一性或可执行算法。第12章 将用连续性与区间结构建立介值存在证书，并比较二分区间证书与第二部压缩证书。