跳转至

正函数怎样比较收敛并控制尾部？

先备知识

第 22.1 单元已经把反常积分收敛改写为尾部正常积分的极限，并给出两类 \(p\)-积分 基准。本单元只讨论最终非负的函数：允许它们在某个有限区间内行为复杂，但在充分靠近 反常端点后必须能够比较大小。

正常积分的保序性是全部比较结论的发动机。比较法不会凭空算出积分值；它把未知函数的 尾部夹在一个已知模型之下或之上。

学习目标

完成本单元后，你应能：

  1. 写出直接比较判别的两个正确方向；
  2. 说明不等式只需最终成立；
  3. 证明 \(L\in(0,\infty)\) 时的极限比较；
  4. 正确处理 \(L=0\) 与 \(L=\infty\) 的单边结论；
  5. 由比较函数给出显式尾部误差；
  6. 把有限端点奇性归入同一比较框架。

牵引问题

若不能求出

\[ \int_1^\infty \frac{dx}{x^2+\sin^2x}, \]

能否仍证明它收敛？证明收敛之后，若要让 \(R\) 以后的尾部小于 \(10^{-3}\)，比较 不等式还能提供什么？

探索与猜想

当 \(x\ge1\) 时，

\[ 0<\frac{1}{x^2+\sin^2x}\le\frac1{x^2}. \]

右侧反常积分收敛，且

\[ \int_R^\infty\frac{dx}{x^2}=\frac1R. \]

同一条不等式同时回答两个问题：未知积分收敛；它从 \(R\) 开始的尾部不超过 \(1/R\)。 因此比较法不仅是“是或否”的判别，也是后续截断预算的来源。

概念与理论

直接比较判别

定理。 设 \(f,g\) 在每个有限区间 \([a,R]\) 上可积，并且存在 \(A\ge a\)，使

\[ 0\le f(x)\le g(x)\qquad(x\ge A) \]

最终成立。则：

  1. 若上方函数收敛，即 \(\int_A^\infty g\) 收敛，则 \(\int_A^\infty f\) 收敛；
  2. 若下方函数发散到 \(+\infty\)，即 \(\int_A^\infty f=+\infty\)，则 \(\int_A^\infty g=+\infty\)。

证明。 对 \(R\ge A\)，正常积分保序给出

\[ 0\le\int_A^R f\le\int_A^R g. \]

若右侧在 \(R\to\infty\) 时趋于有限值，则左侧作为关于 \(R\) 单调不减且有上界的 实函数拥有有限极限，故 \(\int_A^\infty f\) 收敛。

若 \(\int_A^R f\to+\infty\)，则对任意 \(M>0\)，充分大的 \(R\) 使左侧超过 \(M\)， 从而 \(\int_A^R g>M\)。故上方积分也发散到 \(+\infty\)。证毕。

有限段 \([a,A]\) 的正常积分只是固定实数，不会改变尾部是否存在有限极限。因此比较 关系只需最终成立。

比较方向不能反用

以下两句话没有结论：

  • \(0\le f\le g\)，且 \(\int f\) 收敛；
  • \(0\le f\le g\)，且 \(\int g\) 发散。

小函数收敛不能约束大函数；大函数发散也不能迫使小函数发散。例如在 \([1,\infty)\) 上，\(x^{-2}\le x^{-1}\)，但前者收敛、后者发散。

极限比较判别

定理。 设 \(f,g\) 最终为正，且

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L,\qquad 0<L<\infty. \]

则 \(\int_a^\infty f\) 与 \(\int_a^\infty g\) 同敛散。

证明。 取 \(\varepsilon=L/2\)。充分大的 \(x\) 满足

\[ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|<\frac L2, \]

于是

\[ \frac L2g(x)\le f(x)\le\frac{3L}{2}g(x). \]

若 \(\int g\) 收敛，使用右侧不等式推出 \(\int f\) 收敛；若 \(\int g\) 发散， 使用左侧不等式推出 \(\int f\) 发散。交换 \(f,g\) 也得到反向结论。证毕。

这里的双向等价依赖 \(L\) 严格介于 \(0\) 与 \(\infty\) 之间。边界只能保留单边信息：

  • 若 \(L=0\)，即 \(f/g\to0\)，且 \(\int g\) 收敛，则 \(\int f\) 收敛；
  • 若 \(L=\infty\)，即 \(f/g\to\infty\)，且 \(\int g\) 发散，则 \(\int f\) 发散。

例如 \(f/g\to0\) 但 \(\int g\) 发散时，\(\int f\) 可能收敛，也可能发散。

尾部误差界

推论。 若对 \(x\ge R\) 有 \(0\le f(x)\le g(x)\)，且 \(\int_R^\infty g\) 收敛，则

\[ 0\le\int_R^\infty f(x)\,dx \le\int_R^\infty g(x)\,dx. \]

证明。 对每个 \(B>R\)，正常积分保序给出同样不等式；令 \(B\to\infty\) 即可。证毕。

若右侧可以显式计算，就可以从

\[ \int_R^\infty g(x)\,dx\le\varepsilon_{\mathrm{tail}} \]

反求截断点 \(R\)。这是一个严格尾部预算，不是从若干小数值猜测“已经足够远”。

例题与迁移

例 1：有理函数的极限比较

判定

\[ \int_1^\infty\frac{3x+1}{x^3+2}\,dx. \]

取 \(g(x)=x^{-2}\)。被积函数最终为正，且

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{(3x+1)/(x^3+2)}{1/x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+x^2}{x^3+2}=3. \]

极限在 \((0,\infty)\) 内，而 \(\int_1^\infty x^{-2}dx\) 收敛，所以原积分收敛。

例 2：有限端点奇性

判定

\[ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}. \]

在 \(0<x\le1\) 上

\[ 0<\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\le\frac1{\sqrt x}. \]

而 \(\int_0^1x^{-1/2}dx\) 收敛，故直接比较推出原积分收敛。比较发生在靠近奇点的 单侧邻域；远离零点的部分本来就是正常积分。

例 3：从判定到尾部预算

对

\[ f(x)=\frac1{x^2+\sin^2x}, \]

有 \(0<f(x)\le x^{-2}\)。因此

\[ 0\le\int_R^\infty f(x)\,dx\le\frac1R. \]

若要求尾部不超过 \(10^{-3}\)，取 \(R\ge1000\) 即可。这个 \(R\) 可能不最小， 但它由证明保证有效。

即时检验与回望

即时检验 1

若 \(0\le f(x)\le x^{-1}\) 且 \(\int_1^\infty x^{-1}dx\) 发散，能否判断 \(\int_1^\infty f\)？

答案

不能。上方函数发散对下方函数没有结论。例如 \(f=x^{-2}\) 时收敛， \(f=(2x)^{-1}\) 时发散。

即时检验 2

若 \(f/g\to2\)，且 \(\int g\) 收敛，需要先求出 \(f\le2g\) 才能使用极限比较吗？

答案

不需要精确常数 \(2\)。极限定义保证充分靠后有

\[ g\le f\le3g \]

或其他正的双边常数夹逼，已经足以判定同敛散。

回望：比较对象要匹配端点主导行为；比较方向决定能推出什么；若保留积分大小，还能 得到尾部预算。

习题与答案

练习 1：直接比较

判定 \(\int_1^\infty (x^3+1)^{-1}dx\)。

答案

对 \(x\ge1\)，

\[ 0<\frac1{x^3+1}\le\frac1{x^3}. \]

上方 \(p\)-积分的指数 \(3>1\)，故原积分收敛。

练习 2：发散方向

用比较法判定 \(\int_1^\infty (x+\sqrt x)^{-1}dx\)。

答案

对 \(x\ge1\)，\(\sqrt x\le x\)，所以

\[ \frac1{x+\sqrt x}\ge\frac1{2x}. \]

下方函数积分发散到 \(+\infty\)，故原积分也发散到 \(+\infty\)。

练习 3：极限比较

判定 \(\int_2^\infty (x^2+4x)^{-1/2}dx\)。

答案

与 \(g(x)=1/x\) 比较：

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{1/\sqrt{x^2+4x}}{1/x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+4x}}=1. \]

因 \(\int_2^\infty x^{-1}dx\) 发散，原积分发散。

练习 4：\(L=0\) 边界

已知 \(f/g\to0\)。分别给出一个“二者都收敛”和一个“二者都发散”的正函数例子。

答案

都收敛可取 \(f=x^{-3},g=x^{-2}\)；此时 \(f/g=x^{-1}\to0\)。 都发散可取 \(f=x^{-1},g=x^{-1/2}\)；此时 \(f/g=x^{-1/2}\to0\)。 所以 \(L=0\) 本身不提供双向等价。

练习 5：有限奇点

判定 \(\int_0^{1/2}[x(1-x)]^{-1/2}dx\)。

答案

在 \(0<x\le1/2\) 上，\(1-x\ge1/2\)，故

\[ 0<\frac1{\sqrt{x(1-x)}}\le\frac{\sqrt2}{\sqrt x}. \]

右侧在零点附近可积，所以原积分收敛。

练习 6：尾部预算

已知 \(0\le f(x)\le5x^{-3}\) 对 \(x\ge1\) 成立。要保证 \(\int_R^\infty f\le10^{-4}\)，给出一个充分的 \(R\)。

答案
\[ \int_R^\infty5x^{-3}dx=\frac{5}{2R^2}. \]

要求 \(5/(2R^2)\le10^{-4}\)，即 \(R^2\ge25000\)。取 \(R\ge50\sqrt{10}\)，例如 \(R=159\)，即可。

练习 7：首个非法方向

某解答称：“\(0\le x^{-2}\le x^{-1}\)，而 \(\int_1^\infty x^{-1}dx\) 发散， 所以 \(\int_1^\infty x^{-2}dx\) 发散。”指出错误。

答案

使用了无效方向：上方函数发散不能推出下方函数发散。事实上

\[ \int_1^\infty x^{-2}dx=1 \]

收敛。要证明发散，需要找到一个积分发散的非负下方函数。

常见误区与后续

  • 比较不等式方向正确，却套用了错误的推理方向；
  • 要求不等式在整个原区间成立，而忘记有限部分不影响敛散；
  • 极限比较没有先确认函数最终为正；
  • 把 \(L=0\) 或 \(L=\infty\) 当成 \(0<L<\infty\) 的双向结论；
  • 只得到“收敛”，却丢掉本可用于截断的显式尾部界。

下一单元允许函数振荡和换号，使用绝对值控制与有界原函数控制。无穷级数判别和一般 一致收敛理论留到第五部之后。