怎样可靠构造并评价逼近多项式？¶

先备知识¶

需要前两单元的构造与误差界。代码只实现已证明的数学合同，不估计未知的正则性常数。

学习目标¶

用稳定凸组合评价 Bernstein 多项式；
支持任意有限非退化闭区间；
分离近似值、理论误差界和网格观测误差；
拒绝无效次数、区间、点和非有限采样；
比较 Bernstein、等距插值和其他节点策略的边界。

牵引问题¶

直接计算巨大二项式系数可能溢出。怎样在不改变多项式的前提下稳定求值，并确保程序没有把有限网格的好看结果包装成数学证书？

探索与猜想¶

Bernstein 表示可由重复凸插值得到：从节点值开始，每层用 \((1-t)v_k+tv_{k+1}\) 合并。这就是 de Casteljau 评价，不显式形成巨大组合数。

概念与理论¶

问题来源¶

输入连续函数、闭区间、次数和求值点；可选输入已经验证的 Lipschitz 常数、二阶导数界及观测网格大小。

数学转化¶

先用 \(t=(x-a)/(b-a)\) 归一化到 \([0,1]\)，样本仍取原区间 \(a+(b-a)k/n\)。

算法思想¶

de Casteljau 算法从 \(v_k=f(a+(b-a)k/n)\) 开始，反复执行

\[ v_k\leftarrow(1-t)v_k+tv_{k+1}. \]

最后的 \(v_0\) 等于 Bernstein 多项式值。每一步是凸组合，避免直接计算二项式系数。

误差与适用条件¶

Lipschitz 常数 \(L\) 由调用者证明时，理论界为 \(L(b-a)/(2\sqrt n)\)；
二阶导数界 \(M\) 由调用者证明时，理论界为 \(M(b-a)^2/(8n)\)；
两者都有时取更小的已证明界；
没有正则性输入时状态必须是 uncertified；
网格观测误差永远不能冒充未知真实上确界误差。

输出语义¶

字段	含义
`approximation`	指定点的有限 Bernstein 值
`theoretical_error_bound`	由调用者提供的有效假设推出的全域界
`observed_grid_error`	有限网格最大误差，仅诊断
`status`	`certified` 或 `uncertified`
`assumptions`	证书依据和观测边界

伪代码¶

验证区间、次数、求值点和可选常数
在 n+1 个仿射节点采样并拒绝非有限值
用 de Casteljau 重复凸组合得到 approximation
若给出已验证正则性常数，则计算 theoretical_error_bound
若要求网格诊断，则另算 observed_grid_error
返回字段分离的不可变结果

Python¶

唯一实现位于 mathbook_examples.approximation 的 bernstein_approximation。正文不复制第二份 Python 函数，以免数学界、验证规则和实现漂移。

结果解释¶

certified 只表示在 assumptions 中列出的正则性常数确实有效时，理论界成立。 uncertified 不表示近似差，只表示当前输入不足以给出严格全域界。

例题与迁移¶

例 1：证书与观测并列¶

对 \([-1,1]\) 上的 \(|x|\)，给出 \(L=1,n=100\)，程序返回理论界 \(0.1\)；101 点网格误差另列，不能替换该界。

例 2：方法比较¶

Bernstein 构造保证对每个连续函数收敛，但常较保守且未必接近最佳逼近。等距高次插值可能出现 Runge 振荡；Chebyshev 节点通常改善插值稳定性，但本章不证明极小极大定理。方法选择必须区分“保证收敛”“节点精确”和“接近最佳”。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何不用直接组合数公式？

答案

巨大组合数与很小幂次相乘可能溢出或严重损失精度。

即时检验 2¶

未提供正则性常数时应返回什么状态？

答案

uncertified，理论误差界为缺失值。

即时检验 3¶

网格误差小于理论界说明什么？

答案

只说明已观测点表现较好，与保守理论界相容。

习题与答案¶

习题 1¶

de Casteljau 每一步为何数值稳定？

答案

在 \(t\in[0,1]\) 时只作相邻值的凸组合。

习题 2¶

退化区间为什么必须拒绝？

答案

仿射归一化需除以区间长度，且逼近问题不再是通常闭区间问题。

习题 3¶

次数可以为负吗？

答案

不可以；次数必须是非负整数。

习题 4¶

函数采样返回无穷时怎么办？

答案

拒绝输入，不能继续产生有限证书。

习题 5¶

谁负责保证 Lipschitz 常数有效？

答案

调用者必须用数学论证提供；程序只按合同使用。

习题 6¶

两种理论界都可用时如何报告？

答案

可取较小者，并在假设中保留两种来源。

习题 7¶

网格点增加能否最终变成严格证书？

答案

仅靠有限网格不能；仍需控制网格间变化。

习题 8¶

Bernstein 逼近是否在节点处精确？

答案

一般不精确，除端点及被构造保持的低次函数等特殊情形。

习题 9¶

保证收敛是否意味着逼近速度快？

答案

不意味着；速度取决于函数正则性，且 Bernstein 往往较保守。

习题 10¶

Chebyshev 节点在本章承担什么角色？

答案

只作插值方法对照，不承担未证明的最优性结论。

习题 11¶

结果对象为何应不可变？

答案

避免证书字段在计算后被悄然改写，便于审计。

习题 12¶

一份可靠结果解释至少包含哪些内容？

答案

近似值、次数与区间、理论界及其假设、网格观测及其非证书边界。

常见误区与后续¶

稳定评价不等于自动拥有严格误差界。
Bernstein 保证存在性与构造性，但不宣称最佳逼近。
本单元闭合第六部；后续专题可在此基础上研究更快或更优的逼近方法。