多元极值什么时候存在，模型定义域怎样影响答案？¶

先备知识¶

掌握有限维 Heine–Borel 定理、连续像与多元函数定义域。

学习目标¶

1. 在求候选点前判断极值是否存在；2. 把边界纳入比较；3. 识别开集与无界域风险。

牵引问题¶

解出所有驻点仍可能漏掉边界极值，甚至原问题根本没有最大值。应先检查什么？

探索与猜想¶

一元闭区间上的极值定理在有限维中推广为：连续函数在非空紧集上取得最大值和最小值。 所以优化第一步不是求导，而是核验函数、定义域与紧致性。

概念与理论¶

极值存在定理¶

若 \(K\subset\mathbb R^n\) 非空且紧致，\(f:K\to\mathbb R\) 连续，则存在 \(x_{\min},x_{\max}\in K\)，使

证明由连续像 \(f(K)\) 紧致，实数中的非空紧集包含其确界与确界点。

定义域审查¶

在 \(\mathbb R^n\) 中闭且有界等价于紧致。若定义域开、无界、非闭或函数在边界不连续， 上述结论不能直接使用。必须区分：

• 局部极值：只与某邻域内可行点比较；
• 全局极值：与整个定义域比较；
• 下确界：可以存在但不被任何点取得。

因此应先证明极值存在，再进入候选点计算。

例题与迁移¶

例 1：闭圆盘¶

\(f(x,y)=x+y\) 在闭单位圆盘上连续，故极值必存在；边界上由 Cauchy–Schwarz 得 最大值 \(\sqrt2\)、最小值 \(-\sqrt2\)。

例 2：开圆盘¶

同一函数在开单位圆盘上有上确界 \(\sqrt2\)，但不能取得，因为相应边界点不在定义域。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

连续函数在有界开集上是否必取得极值？

即时检验 2¶

紧集上的极值是否一定出现在驻点？

常见误区与后续¶

• “有界”不能替代“紧致”。
• 极值存在定理不告诉极值点在哪里。
• 定义域是模型的一部分，不能在求导时忽略。

习题与答案¶

习题 1¶

\(x^2+y^2\) 在闭单位圆盘上有哪些全局极值？

习题 2¶

在开单位圆盘上，上题最大值是否取得？

习题 3¶

闭且无界的集合是否紧致？

习题 4¶

连续函数在空集上能否使用极值存在定理？

习题 5¶

为什么矩形边界也必须检查？

习题 6¶

\(e^x\) 在整条实线上有最小值吗？

习题 7¶

局部最小点是否必为全局最小点？

习题 8¶

给出极值存在审查的三项清单。