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常用展开怎样形成可靠计算工具？

先备知识

需要几何级数、逐项积分微分、Taylor 余项和条件收敛。每个展开都必须同时记录等号 来源、收敛域、端点和误差界。

学习目标

  1. 严格建立指数、正弦、余弦、几何、对数和二项式展开；
  2. 分别检查收敛域与端点；
  3. 使用实变量 Abel 端点定理；
  4. 用展开计算函数值、积分和数项级数；
  5. 为截断结果附加可证明误差界。

牵引问题

形式代换、求导和积分能猜出许多级数，但怎样知道等号在哪些点成立？靠近端点时， 内部结论能否传到边界？

探索与猜想

可靠展开有四层证据：先由有限公式或已证展开得到候选；再定半径；然后处理端点； 最后选择几何尾项、交错余项或 Taylor 余项作为误差证书。

概念与理论

实变量 Abel 端点定理

定理。 若数项级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_n=A\) 收敛，则

\[ \lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=A. \]

证明要点。 令 \(s_n=\sum_{k=0}^na_k\)。有限分部求和并令截断趋于无穷，得到

\[ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=(1-x)\sum_{n=0}^\infty s_nx^n,\qquad0\le x<1. \]

写 \(s_n=A+(s_n-A)\)。常数部分给出 \(A\)；对误差，先使足够靠后的 \(|s_n-A|\) 统一小，再由因子 \((1-x)\) 使有限头部在 \(x\to1^-\) 时消失。 故极限为 \(A\)。该定理传递已有端点和，不替代端点级数自身的敛散判断。

常用展开总表

函数 展开 收敛域与端点
几何 \(\frac1{1-x}=\sum_{n\ge0}x^n\) (
指数 \(e^x=\sum_{n\ge0}x^n/n!\) 全体实数
正弦 \(\sin x=\sum_{n\ge0}(-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!\) 全体实数
余弦 \(\cos x=\sum_{n\ge0}(-1)^nx^{2n}/(2n)!\) 全体实数
对数 \(\log(1+x)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}x^n/n\) \(-1<x\le1\)；\(x=-1\) 发散
二项式 \((1+x)^\alpha=\sum_{n\ge0}{\alpha\choose n}x^n\) (

指数、正弦、余弦由 Lagrange 余项趋零得到。几何展开来自有限几何和。对几何展开在 \([0,x]\) 上逐项积分得到 \(-\log(1-x)=\sum_{n\ge1}x^n/n\)，再代换获得对数展开； \(x=1\) 用 Leibniz，边界连续值也可由 Abel 端点定理确认。广义二项式系数为

\[ {\alpha\choose n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}, \]

其内部等号可由微分方程和系数递推验证；若 \(\alpha\) 是非负整数，展开有限。

把这一步展开：若 \(\alpha\) 不是非负整数，相邻系数绝对值之比趋于 \(1\)，故半径 为 \(1\)。设

\[ g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}x^n. \]

在任意内闭区间可逐项微分；由

\[ (n+1){\alpha\choose n+1}=(\alpha-n){\alpha\choose n} \]

逐项比较系数，得到

\[ (1+x)g'(x)=\alpha g(x),\qquad g(0)=1. \]

另一方面，初等求导给出 \(h(x)=(1+x)^\alpha\) 在 \((-1,1)\) 上满足同一关系与 初值。于是

\[ \left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)'=0, \]

且 \(g(0)/h(0)=1\)，故 \(g=h\)。若 \(\alpha\) 是非负整数，有限二项式定理直接 给出等式。这样等号来自已证明的逐项微分与常微分恒等式，不是形式猜测。

可靠使用流程

  1. 写明函数、中心和目标点；
  2. 写出展开的证明来源，不以形式运算代替合法性；
  3. 检查 \(|x-x_0|<R\)，端点则单独代回；
  4. 选择误差界：几何尾项、交错首个被舍项或 Taylor 余项；
  5. 由误差阈值反解截断阶数；
  6. 仅输出已由界认证的有效位数。

例题与迁移

例 1：计算 \(\log2\)

对数展开在 \(x=1\) 给出

\[ \log2=1-\frac12+\frac13-\cdots. \]

截断到 \(N\) 项的误差不超过 \(1/(N+1)\)，但收敛较慢。

例 2：指数近似

在 \(0\le x\le1\)，\(e^x\) 截到 \(n\) 阶的 Lagrange 余项不超过

\[ \frac{e}{(n+1)!}. \]

这比只观察相邻部分和更可靠。

即时检验与回望

即时检验 1

几何展开能否直接代入 \(x=1\)？

答案

不能；端点级数通项不趋零，发散。

即时检验 2

Abel 端点定理的前提是什么？

答案

原数项级数 \(\sum a_n\) 已经收敛。

即时检验 3

误差界与“下一项很小”有什么区别？

答案

误差界来自已证明定理；下一项小本身通常不能控制全部尾部。

习题与答案

习题 1

写出 \(e^x\) 的前三个非零项。

答案

\(1+x+x^2/2\)。

习题 2

写出 \(\sin x\) 到五次项。

答案

\(x-x^3/3!+x^5/5!\)。

习题 3

写出 \(\cos x\) 到四次项。

答案

\(1-x^2/2!+x^4/4!\)。

习题 4

\(\sum x^n\) 的尾项公式是什么？

答案

截到 \(N\) 次后余项为 \(x^{N+1}/(1-x)\)，适用于 \(|x|<1\)。

习题 5

对数展开在 \(x=-1\) 怎样？

答案

成为负调和级数，发散。

习题 6

对数展开在 \(x=1\) 怎样？

答案

成为交错调和级数，条件收敛到 \(\log2\)。

习题 7

\(\alpha=2\) 的二项式展开是什么？

答案

\((1+x)^2=1+2x+x^2\)，之后系数为零。

习题 8

Abel 定理能否把一个发散端点级数变成收敛？

答案

不能；定理以前提中的端点数项级数已收敛为条件。

习题 9

近似 \(\log2\) 到误差小于 \(10^{-3}\) 至少可取多少项？

答案

由交错余项需 \(1/(N+1)<10^{-3}\)，可取 \(N=1000\)。

习题 10

为何指数展开对所有实数成立？

答案

其半径无穷，且 Taylor 余项被阶乘压到零。

习题 11

形式积分几何级数后还应核对什么？

答案

核对内闭区间一致收敛以允许积分，并单独处理所得端点。

习题 12

一份可靠展开计算记录应包含什么？

答案

展开来源、收敛域、端点判断、截断阶数和严格误差界。

常见误区与后续

  • 记住公式不等于知道它在哪些点成立。
  • Abel 端点定理只连接内部极限与一个已收敛的端点级数。
  • 第 27 章将处理未必解析的连续函数怎样由多项式一致逼近。