多元极限、连续与连通性怎样给出存在性结论？¶

先备知识¶

使用一元函数极限与连续的量词定义、向量序列、开球和紧致性。

学习目标¶

1. 写出 \(\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) 函数极限的定义；
2. 建立多元极限的序列刻画；
3. 正确使用路径反例；
4. 用连续像保持紧致和连通获得存在性结论。

牵引问题¶

趋近一个平面点有无穷多种方向和弯曲路径。检查横轴、纵轴与几条直线，是否足以证明 函数有极限？

探索与猜想¶

真正的极限必须统一控制整个穿孔小球，而不是逐条控制预先挑选的路径。

概念与理论¶

多元极限¶

设 \(f:E\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)，\(a\) 是 \(E\) 的聚点。称

若对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使所有满足 \(x\in E\) 且 \(0<\|x-a\|_2<\delta\) 的点都有 \(\|f(x)-L\|_2<\varepsilon\)。

与一元情形相同，极限唯一，代数运算可由范数不等式证明。序列判据为：极限等于 \(L\)，当且仅当对每个 \(E\setminus\{a\}\) 中趋于 \(a\) 的序列 \(x_k\)，都有 \(f(x_k)\to L\)。

不同路径得到不同极限可以否定极限存在。例如

沿 \(y=0\) 为 \(1\)，沿 \(x=0\) 为 \(-1\)。反过来，即使若干直线路径给出相同值， 也没有控制全部序列，因此有限条路径不能证明极限存在。

函数在 \(a\in E\) 连续，是指 \(x\to a\) 且 \(x\in E\) 时 \(f(x)\to f(a)\)。 连续映射保持序列极限，也把紧集映为紧集。

连续像保持连通¶

集合 \(C\) 称为连通，若不能写成两个互不相交、相对开放、非空集合的并。若 \(f:C\to\mathbb R^m\) 连续且 \(C\) 连通，则 \(f(C)\) 连通。

证明。 若 \(f(C)=U\cup V\) 被分离，则原像 \(f^{-1}(U),f^{-1}(V)\) 是 \(C\) 中互不相交、相对开放、非空且并为 \(C\) 的集合，矛盾。

实数中的连通集恰为区间。因此连续实值函数在连通集上的像是区间：若取得两个值， 就取得其间所有值。这是多元定义域上的中间值原理。

例题与迁移¶

例 1：用整体估计证明极限¶

故 \((x,y)\to(0,0)\) 时极限为 \(0\)。这里控制了整个小球，而非有限路径。

例 2：路径都好看仍可能失败¶

令 \(f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)\)。沿每条直线 \(y=mx\) 极限为 \(0\)，但沿 \(y=x^2\) 得 \(1/2\)，所以极限不存在。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么找到两条极限不同的路径足以否定极限？

即时检验 2¶

连续函数把紧集映成什么？

常见误区与后续¶

• 路径法擅长否定，不能用有限样本证明统一极限。
• 多元函数在一点连续不意味着其偏导存在；偏导属于第 29 章。
• 连通不等于路径连通；本部只使用连续像与实值区间结论。

习题与答案¶

习题 1¶

证明 \(\|(x,y)\|_2\to0\) 时 \(x^2+y^2\to0\)。

习题 2¶

判断 \(xy/(x^2+y^2)\) 在原点的极限。

习题 3¶

证明 \(|xy|\le(x^2+y^2)/2\)。

习题 4¶

用上一题证明 \(xy\to0\)。

习题 5¶

给出在原点不连续但沿两坐标轴均为零的函数。

习题 6¶

证明连续映射的复合仍连续。

习题 7¶

若 \(C\) 连通且 \(f:C\to\mathbb R\) 连续，证明 \(f(C)\) 是区间。

习题 8¶

为什么 \(\mathbb R^n\) 中的凸集连通？

习题 9¶

证明紧集上的连续映射一致连续。

习题 10¶

对 \(f(x,y)=x^2+y^2\)，求闭单位圆盘上的值域。

小结¶

多元极限要求对整个穿孔邻域统一控制；序列判据把这种控制变成“所有趋近方式”。 紧致性保证极值等整体结论，连通性保证连续实值映射不跳过中间值。