绝对收敛为什么能够控制符号变化？¶
先备知识¶
需要第 23 章的级数 Cauchy 尾部判据、正项级数判别及 \(\lvert x+y\rvert\le \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\)。
学习目标¶
- 区分绝对收敛、条件收敛与发散；
- 从 Cauchy 尾部证明绝对收敛推出收敛；
- 用正部和负部解释收敛所需的抵消；
- 判断一个结论究竟控制了大小还是仅利用了符号。
牵引问题¶
若把每项换成绝对值后仍能有限累积，原级数的任意尾段能否更大？反之，一个依靠正负 抵消收敛的级数，其正项与负项各自会发生什么？
探索与猜想¶
三角不等式表明原尾段的绝对值不超过绝对值级数的同一尾段。因此绝对值级数提供一种 不依赖符号排列的控制。若这种控制不存在，收敛只能来自抵消。
概念与理论¶
绝对收敛与条件收敛¶
若 \(\sum |a_n|\) 收敛，称 \(\sum a_n\) 绝对收敛。若 \(\sum a_n\) 收敛而 \(\sum |a_n|\) 发散，称其条件收敛。
绝对收敛推出收敛¶
定理。 绝对收敛推出收敛。
证明。 给定 \(\varepsilon>0\)。由 \(\sum|a_n|\) 的 Cauchy 尾部性质，存在 \(N\)， 使 \(n>m\ge N\) 时
于是
故 \(\sum a_n\) 满足 Cauchy 尾部判据，因而收敛。证毕。
正部与负部¶
定义
则 \(a_n=a_n^+-a_n^-\)，\(|a_n|=a_n^++a_n^-\)。
定理。 \(\sum a_n\) 绝对收敛，当且仅当两个正项级数 \(\sum a_n^+\)、\(\sum a_n^-\) 都收敛。
证明。 若绝对收敛，则 \(0\le a_n^\pm\le |a_n|\)，比较判别给出两者收敛。 反之，把两条收敛级数相加即得 \(\sum|a_n|\) 收敛。证毕。
进一步，若 \(\sum a_n\) 收敛，则两个正负部分和之差有有限极限。因此它若不是绝对 收敛，正部与负部不可能只有一方无界：二者都趋于 \(+\infty\)，有限和来自抵消。
例题与迁移¶
例 1：绝对收敛¶
\(\sum (-1)^n/n^2\) 绝对收敛，因为 \(\sum 1/n^2\) 收敛，所以原级数收敛。
例 2：条件收敛¶
\(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}/n\) 将由下一单元证明收敛，而其绝对值级数是调和级数， 故为条件收敛。这里的有限结果来自抵消，不来自总大小有限。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
若 \(\sum |a_n|\) 收敛，\(\sum 3a_n\) 是否绝对收敛？
答案
是，因为 \(\sum|3a_n|=3\sum|a_n|<\infty\)。
即时检验 2¶
若 \(\sum a_n^+\) 收敛而 \(\sum a_n^-\) 发散，\(\sum a_n\) 能否收敛？
答案
不能；其部分和趋向负无穷，不可能有有限极限。
习题与答案¶
习题 1¶
判定 \(\sum(-1)^n/(n+1)^3\) 的绝对收敛性。
答案
绝对值级数是收敛的 \(p\)-级数尾部，故绝对收敛。
习题 2¶
证明若 \(|a_n|\le 2^{-n}\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
答案
比较得 \(\sum|a_n|\le\sum2^{-n}<\infty\)，再用本单元定理。
习题 3¶
写出 \(a=-3\) 的正部与负部。
答案
\(a^+=0,\ a^-=3\)，且 \(a=a^+-a^-\)。
习题 4¶
证明 \(0\le a_n^\pm\le|a_n|\)。
答案
分 \(a_n\ge0\) 与 \(a_n<0\) 两种情形直接验证。
习题 5¶
若 \(\sum a_n\) 与 \(\sum|a_n|\) 都收敛，它属于哪类？
答案
绝对收敛；条件收敛要求后者发散。
习题 6¶
绝对收敛证明中哪一步使用了绝对值？
答案
三角不等式把原尾段控制在绝对值尾段之下。
习题 7¶
若 \(\sum a_n\) 条件收敛，说明 \(\sum a_n^+\) 的行为。
答案
它发散到正无穷；否则负部也会收敛，从而原级数绝对收敛。
习题 8¶
构造一个绝对收敛但含无穷多个正项和负项的级数。
答案
例如 \(\sum(-1)^n/2^n\)，其绝对值级数为几何级数。
常见误区与后续¶
- 绝对收敛是充分条件，不是一般收敛的必要条件。
- \(|\sum a_n|\le\sum|a_n|\) 只能在相关级数已经有意义时使用。
- 下一单元研究没有绝对值控制时，交错与振荡怎样提供条件抵消。