第 46 章：从长度问题到测度¶

本章共 5 个核心单元，7.5 学时（理论 6.00，应用 1.50）。

第十一部序章：一个 Riemann 失败序列¶

把 \([0,1]\) 中的有理数枚举为 \(q_1,q_2,\ldots\)，定义

\[ f_n=\mathbf 1_{\{q_1,\ldots,q_n\}}. \]

每个 \(f_n\) 只有有限个不连续点，因而 Riemann 可积且积分为零；但逐点极限是 \(\mathbf 1_{\mathbb Q\cap[0,1]}\)，它处处不连续，不再 Riemann 可积。这不是立即调用新定理的地方，而是第十一部要回答的四个问题：可数集为什么应当大小为零？可数并为何需要新的集合语言？逐点极限怎样保持可测性？积分与极限何时能够交换？

本章先回答第一个问题，并建立后续对象的起点。