第 25 章：函数列、函数项级数与一致收敛¶

第 24 章完成数项级数。现在每一项都可以依赖 \(x\)：对每个固定点收敛并不保证整个 定义域同时受控。本章以量词次序为起点，用统一误差建立连续、积分与微分交换的条件。

本章共5个核心单元，9学时（理论7，应用2）。

学习路径¶

1. 逐点收敛为什么不足以控制整体行为？ （理论 1.25，应用 0.50）
2. 怎样用统一尾部控制刻画一致收敛？ （理论 1.50，应用 0.25）
3. 函数项级数怎样获得一致收敛判别？ （理论 1.50，应用 0.50）
4. 极限什么时候可以穿过连续与积分？ （理论 1.50，应用 0.25）
5. 微分为什么需要比积分更强的条件？ （理论 1.25，应用 0.50）

一条统一控制路线¶

逐点语言允许截断位置依赖 \(x\)；一致语言要求一个截断位置服务整个定义域。 一致 Cauchy 把未知极限改写成统一尾部，M 判别和一致 Dirichlet–Abel 则提供 可检查的充分条件。连续与积分由一致误差直接控制；微分还必须控制导数并固定一个基点。

输入、输出与边界¶

本章输入第 24 章的数项级数判别，以及前五部的完备性、连续、Riemann 积分和 微积分基本定理。输出一致收敛的定义、判据和运算交换定理。第 26 章才把这些工具 用于以幂为基底的特殊级数。