密度怎样产生质量、质心与转动惯量？¶

先备知识¶

掌握区域积分、三重积分、坐标选择和物理量单位。

学习目标¶

从“密度乘小块大小”统一推导质量、质心和转动惯量。

牵引问题¶

同一个密度函数为何会产生多个不同积分？区别藏在哪个局部权重里？

探索与猜想¶

小块质量约为 \(\rho\,dA\) 或 \(\rho\,dV\)；再乘位置坐标得到一阶矩，乘到轴距离 平方得到二阶矩。

概念与理论¶

薄片 \(D\) 的面密度为 \(\rho\ge0\)，总质量

若 \(M>0\)，质心

关于 \(z\) 轴的转动惯量

三维只需把 \(dA\) 换为 \(dV\)，并使用到指定轴的距离平方。

单位必须闭合：面密度为质量/面积，故质量积分单位为质量；一阶矩为质量·长度； 转动惯量为质量·长度平方。区域与密度关于某轴对称时，质心相应坐标可先由成对 抵消核验。

例题与迁移¶

例 1：均匀圆盘¶

半径 \(R\)、常密度 \(\rho_0\) 的圆盘质量为 \(\rho_0\pi R^2\)，质心在原点， \(I_z=\rho_0\int_0^{2\pi}\int_0^Rr^3drd\theta=\rho_0\pi R^4/2\)。

例 2：非均匀矩形¶

若 \(D=[0,1]^2,\rho=1+x\)，质量为 \(3/2\)；\(\bar x\) 不再是 \(1/2\)，但 关于水平中线对称仍给 \(\bar y=1/2\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

质心公式为何除以总质量？

即时检验 2¶

转动惯量为何乘距离平方？

常见误区与后续¶

• 先声明密度是面密度还是体密度。
• 质心不是区域几何中心，除非密度与对称性支持。
• 结果必须带单位并检查量纲。

习题与答案¶

习题 1¶

常密度薄片的质量是什么？

习题 2¶

关于 \(y\) 轴对称时 \(\bar x\) 为何为零？

习题 3¶

质量为零时质心公式有意义吗？

习题 4¶

面密度单位为 kg/m²，质量积分单位？

习题 5¶

转动惯量单位？

习题 6¶

关于 \(x\) 轴的薄片惯量被积权重是什么？

习题 7¶

关于原点的极惯量权重？

习题 8¶

密度可否为负？

习题 9¶

何时极坐标更合适？

习题 10¶

模型核验的三项是什么？