非负可测函数怎样由递增简单函数逼近？¶

先备知识¶

熟悉水平集可测性、取整函数和二进分割。

学习目标¶

显式构造非负可测函数的递增简单函数逼近。

牵引问题¶

怎样把任意非负函数压成有限高度层，同时永远从下方逼近？

探索与猜想¶

把高度按 (2^{-n}) 向下取整，并在高度 (n) 截断。

概念与理论¶

障碍¶

只说“用阶梯函数逼近”没有给可测性、单调性或误差证明。

证明路线¶

冻结每一级的二进网格和截断规则，逐项核查三种性质。

逐步证明¶

只取有限多个值的可测函数称简单函数，可写成 \(\phi=\sum_{k=1}^ma_k\mathbf1_{E_k}\)，其中 (E_k) 可测且可取两两不交。 对非负可测 (f)，定义

有限高度与步长使 \(\phi_n\) 只取有限多个值；每个水平层是 (f) 的可测水平集之差， 故 \(\phi_n\) 可测。二进网格细化且截断高度上升，逐点有 \(0\le\phi_n(x)\le\phi_{n+1}(x)\le f(x)\)。若 (f(x)<\infty)，当 (n>f(x)) 时 \(0\le f(x)-\phi_n(x)<2^{-n}\)；若 (f(x)=+\infty)，则 \(\phi_n(x)=n\to+\infty\)。 因此 \(\phi_n(x)\uparrow f(x)\)。

假设用在何处¶

非负性让下逼近从 0 起；可测性保证水平层可测；截断保证每级取值有限。

失败边界¶

有限网格图像只是展示；真正结论来自显式公式和逐点不等式。

例题与迁移¶

例 1：(f(x)=x)¶

在 \([0,1]\) 上，\(\phi_n\) 是步长 (2^{-n}) 的左端阶梯，下方误差小于 (2^{-n})。

例 2：无穷值¶

若 (f=+\infty) 于零测集 (N)，则在 (N) 上 \(\phi_n=n\)，仍逐点递增到无穷。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何必须截断高度？

即时检验 2¶

为何向下取整？

常见误区与后续¶

• 简单函数不是“容易的函数”，而是有限值可测函数。
• 本单元只建逼近，不使用积分定理。

习题与答案¶

习题 1¶

定义简单函数。

习题 2¶

为何水平层可测？

习题 3¶

步长是多少？

习题 4¶

截断高度是多少？

习题 5¶

有限值点的误差上界是什么？

习题 6¶

无穷值点上如何收敛？

习题 7¶

逼近从上还是从下？

习题 8¶

序列是否递增？

习题 9¶

有限采样能替代证明吗？

习题 10¶

这一构造下一章做什么？