最小上界怎样保证存在？¶

先备知识¶

本单元正式使用第 2 章：实数系与完备性公理中构造的 Dedekind 分割模型，尤其是“有共同上界的非空切割族，其并集仍给出最小上界”。还需要上一单元关于上界、上确界和最大元的定义。高等代数只用不等式的基本性质及平方差分解；不需要解析几何或 Python。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

1. 准确陈述确界原理及下确界的对偶形式；
2. 说明确界原理如何来自切割族的并集构造；
3. 使用确界原理证明任意正实数都有平方根；
4. 写出使不等式保持严格的显式扰动，并据此完成反证。

牵引问题¶

上一单元的有理数集合 \(D\) 有上界却没有最小上界。第 2 章的切割构造看起来已经补上了这个缺口：把一族有上界的切割取并集，便得到一个新的切割。怎样把这个集合构造压缩成一条可反复调用的原则？更重要的是，拿到一个“最小上界”后，怎样把它变成一个方程的解？

探索与猜想¶

设 \(a>0\)，我们想寻找 \(x\ge0\) 使 \(x^2=a\)。先收集所有还没有超过 \(a\) 的非负数：

这个集合非空，也不会无限向右延伸。若 \(s\) 是它的最小上界，直觉上 \(s\) 应该正好卡在 \(x^2=a\) 的位置。可是“正好卡住”还不是证明：若 \(s^2<a\)，能否明确地向右走一点仍留在 \(S\)？若 \(s^2>a\)，能否明确地向左走一点并仍然界住 \(S\)？这两次微小移动将决定答案。

概念与理论¶

确界原理¶

确界原理（最小上界原理）。 每个非空且有上界的实数集合 \(E\subseteq\mathbb R\) 都有上确界：存在 \(s\in\mathbb R\)，使 \(s=\sup E\)。

它不是只说“上界存在”，而是说所有上界中有一个最小者。其对偶形式是：每个非空且有下界的实数集合都有下确界。

为什么这条原理来自实数构造？ 在 Dedekind 分割模型中，把 \(E\) 的每个元素看成一个切割，得到一个非空切割族。若 \(B\) 是 \(E\) 的一个上界，则对应切割界住族中每个切割。第 2 章已经证明：这族切割的并集仍是切割，且是它们的最小上界。把切割重新视为实数，便得到 \(\sup E\)。因此，确界原理不是附加的计算技巧，而是实数构造给出的结构性结论。

对偶形式也可由上确界形式推出。设 \(E\) 非空且有下界，令 \(-E=\{-x:x\in E\}\)。那么 \(-E\) 非空且有上界，令 \(t=\sup(-E)\)。于是 \(-t\) 是 \(E\) 的下界；任一 \(E\) 的下界 \(m\) 给出 \(-m\) 是 \(-E\) 的上界，故 \(t\le-m\)，也就是 \(m\le-t\)。所以

如何使用一个上确界¶

若 \(s=\sup E\)，证明中可以反复调用两件事：

1. \(s\) 是上界，所以每个 \(x\in E\) 都满足 \(x\le s\)；
2. \(s\) 是最小上界，所以任何严格小于 \(s\) 的数都不是上界。等价地，对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(x\in E\) 使 \(s-\varepsilon<x\le s\)。

第二条的证明很短：若 \(s-\varepsilon\) 是上界，就比上确界 \(s\) 更小，矛盾。它表达了上确界的“可从集合内部任意逼近”的含义，但没有说上确界一定属于集合。

例：正数的平方根存在¶

证明：对每个 \(a>0\)，存在唯一的 \(s>0\) 使 $s^2=a。

证明。 令

集合 \(S\) 非空，因为 \(0\in S\)。它还有一个正元素：令 \(t=a/(a+1)\)，则 \(t>0\)，且由 \(a<(a+1)^2\) 得

所以 \(t\in S\)。又 \(a+1\) 是 \(S\) 的上界：若 \(x\in S\) 而 \(x\ge a+1\)，因两数非负便有 \(x^2\ge(a+1)^2>a\)，矛盾。由确界原理，存在 \(s=\sup S\)。由于 \(t\in S\)，有 \(s\ge t>0\)。

我们证明 \(s^2=a\)。首先反设 \(s^2<a\)，记 \(\delta=a-s^2>0\)，并取

于是 \(\varepsilon\le1\)，从而

故 \((s+\varepsilon)^2<a\)，并且 \(s+\varepsilon\ge0\)，即 \(s+\varepsilon\in S\)。但 \(s+\varepsilon>s\)，这与 \(s\) 是 \(S\) 的上界矛盾。因此不可能有 \(s^2<a\)。

再反设 \(s^2>a\)，记 \(\delta=s^2-a>0\)，并取

则 \(s-\varepsilon>0\)，且

所以 \((s-\varepsilon)^2>a\)。对任意 \(x\in S\)，有 \(x\ge0\) 且 \(x^2<a<(s-\varepsilon)^2\)。若 \(x\ge s-\varepsilon\)，两边非负时平方保序，将得到 \(x^2\ge(s-\varepsilon)^2\)，矛盾；故 \(x<s-\varepsilon\)。这说明 \(s-\varepsilon\) 是 \(S\) 的上界，却小于 \(s\)，与 \(s\) 是最小上界矛盾。因此也不可能有 \(s^2>a\)。

两种严格不等式都被排除，故 \(s^2=a\)。最后，若 \(u,v>0\) 且 \(u^2=v^2=a\)，则

因 \(u+v>0\)，有 \(u-v=0\)，即 \(u=v\)。正平方根唯一。\(\square\)

这份证明只使用确界原理、序与显式不等式；没有把后续章节的函数理论偷渡进来。

例题与迁移¶

设 \(E=(0,1)\)。由确界原理，\(E\) 有上确界。我们知道 \(1\) 是上界；若 \(M<1\)，令 \(x=(\max\{M,0\}+1)/2\)。此时 \(0\le\max\{M,0\}<1\)，故 \(x\in(0,1)\)；若 \(M\le0\)，则 \(x=1/2>M\)，若 \(0<M<1\)，则 \(x=(M+1)/2>M\)。所以 \(x>M\)，任何 \(M<1\) 都不是上界。因此 \(\sup E=1\)。同样，\(\inf E=0\)。这个例子提醒我们：确界是边界对象，未必是集合元素。

平方根例的迁移方法是固定的：先用一个不等式定义“尚未到达目标”的集合；证明它非空且有界；取其上确界；最后构造两种扰动排除“还没到”与“已经越过”两种情况。第 4 章的区间逼近会把同一种思路改写成逐步缩小的过程。

即时检验与回望¶

1. 为什么 \(S\) 的上界 \(a+1\) 不需要是最小上界？

1. 在 \(s^2<a\) 的反设中，为什么要让 \(\varepsilon\le1\)？

1. 在 \(s^2>a\) 的反设中，为什么还要让 \(\varepsilon\le s/2\)？

回看牵引问题：切割族的并集保证了最小上界的存在；显式扰动把这个抽象边界变成了 \(x^2=a\) 的解。下一单元将系统收集这条原理的其他推论。

习题与答案¶

ex-u-01-03-02-01¶

用确界原理证明：非空且有下界的集合 \(E\subseteq\mathbb R\) 有下确界。

ex-u-01-03-02-02¶

设 \(s=\sup E\)。证明：对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(x\in E\) 使 \(s-\varepsilon<x\)。

ex-u-01-03-02-03¶

求 \(\sup[2,5)\) 与 \(\inf[2,5)\)，并说明其中哪些是最大元或最小元。

ex-u-01-03-02-04¶

设 \(a>0\)、\(s\ge0\) 且 \(s^2<a\)。写出一个满足 \((s+\varepsilon)^2<a\) 的正数 \(\varepsilon\)，并验证。

ex-u-01-03-02-05¶

解释“\(\sup E\) 存在”与“\(\max E\) 存在”的区别，并各给一个例子。

ex-u-01-03-02-06¶

完整解答。 用确界原理证明：对每个 \(a>0\)，存在唯一 \(s>0\) 使 \(s^2=a\)。你的证明须分别排除 \(s^2<a\) 与 \(s^2>a\)，并写出所用扰动。