第 16 章：Taylor 公式与余项¶

一阶可导把函数压缩成“函数值 + 斜率 × 增量 + 更小的误差”。如果继续知道二阶、三阶乃至 更高阶导数，能否逐层补充弯曲信息？答案是有限阶 Taylor 多项式。不过，一个多项式写得 像原函数，不等于我们已经说明了误差。本章真正的主角是余项。

本章共4个核心单元，7学时（理论4.5，应用2.5）。

1. 高阶局部信息怎样形成 Peano 展开？ （理论 1.25，应用 0.50）
2. Lagrange 余项怎样给出可计算误差界？ （理论 1.50，应用 0.25）
3. Cauchy 余项揭示了怎样的证明结构？ （理论 1.50，应用 0.25）
4. 怎样把 Taylor 多项式变成可信的近似工具？ （理论 0.25，应用 1.50）

本章证明阶梯¶

• Peano 余项回答“当 \(x\to a\) 时，误差比 \((x-a)^n\) 小到什么程度”；
• Lagrange 余项回答“在指定点上，怎样用导数界算出误差上限”；
• Cauchy 余项揭示另一种中值结构，并帮助比较不同余项的条件与用途；
• 最后一单元把误差预算、Horner 求值和有限差分组成一条可执行路线。

依赖与边界¶

本章使用第 13 章的局部线性化和小 \(o\) 记号、第 14 章的高阶导数，以及第 15 章的 Rolle、Lagrange、Cauchy 中值定理。

有限阶 Taylor 公式不等于无穷 Taylor 级数。即使每个固定阶数都有余项，也不能在没有 统一控制时直接让阶数趋于无穷。凸性、优化与 Newton 方法进入第 17 章；本章在完成有限 阶近似和可信误差解释后停止。