三角多项式怎样给出最佳平方逼近？¶

先备知识¶

掌握 Fourier 投影系数与正交性。

学习目标¶

不用抽象空间定理，证明 Fourier 部分和在固定阶数中平方误差最小。

牵引问题¶

同阶三角多项式很多，为什么偏偏选择 Fourier 系数？

探索与猜想¶

任意候选等于投影加一个同空间偏差，误差形成直角三角形。

概念与理论¶

设 \(S_Nf\) 是 Fourier 投影，\(q\) 是任意 \(N\) 阶三角多项式。因为 \(f-S_Nf\) 与整个有限维空间正交，故有有限维 Pythagoras 恒等式

右侧第二项非负，所以 \(S_Nf\) 是唯一最佳平方逼近。

障碍¶

必须先证明残差与整个候选空间正交，不能由图形直接宣称最短。

证明路线¶

写 \(f-q=(f-S_Nf)+(S_Nf-q)\)，展开平方积分并消去交叉项。

逐步证明¶

第二项属于三角多项式空间；第一项与每个基函数正交，因此二者内积为零。 等号成立当且仅当 (|S_Nf-q|_2=0)，对三角多项式即 (q=S_Nf)。

假设用在何处¶

平方可积保证范数有限；有限维性保证正交关系由有限线性组合传递。

失败边界¶

固定阶数最优不保证随 (N) 增大时在每一点收敛。

例题与迁移¶

例 1：投影已在空间内¶

若 (f=1+2cos x)，则任意 (N\ge1) 的最佳误差为零。

例 2：遗漏频率¶

用一阶多项式逼近 (cos2x)，投影为零，平方误差为 (pi)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

交叉项为何为零？

即时检验 2¶

最佳性是哪一种误差？

常见误区与后续¶

• “最小二乘”不是“每点最接近”。
• 本证明完全停留在有限维，不要求一般 (L^2) 完备性。

习题与答案¶

习题 1¶

写出误差分解中的两个正交向量。

习题 2¶

第二项何时为零？

习题 3¶

为何误差随阶数不增？

习题 4¶

零投影是否意味着函数为零？

习题 5¶

最大误差是否也由同一投影最小？

习题 6¶

若 (q=S_Nf+r)，误差增加多少？

习题 7¶

唯一性依赖什么？

习题 8¶

有限维条件体现在哪里？

习题 9¶

最佳误差为零说明什么？

习题 10¶

为什么本结论不证明逐点收敛？