第 10 章：连续函数与连续运算¶

第 9 章回答了“函数值怎样在一点附近趋向某个目标”。本章进一步要求这个目标正好是 函数在中心点的实际取值，由此建立连续性，并研究连续性经过有限代数运算、复合、 端点限制与补值时怎样传递。

本章问题¶

“输入的微小改变只引起输出的微小改变”怎样写成严格的量词？一个缺失点什么时候 可以补值？图像上的断裂有哪些不同数学机制？常见代数函数的连续性究竟依赖哪些已经 证明的基本块？

依赖与边界¶

本章直接使用第 9 章的有限函数极限、左右极限、无穷极限、极限运算法则和 Heine 序列判别。核心论证以相对定义域的极限与 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 控制为主。 本章不使用后续微分理论，也不提前证明闭区间上的有界、最值或统一控制性质。

学习路径¶

本章共 5 个核心单元，10 学时（理论 8，应用 2）。

建议依次学习。10.3 先给出连续延拓的充要条件，10.4 才能准确回答哪些间断可修复； 10.5 再把前面的闭包规则整理成可反复调用的函数库。

章末接口¶

完成本章后，你可以证明函数在每个点分别连续，却还不能据此断言它在整个区间有界、 取得最大最小值，或存在一个对所有中心点同时有效的控制半径。第 11 章将引入闭区间 的序列紧致性，把这些逐点局部信息升级为整体结论。