Beta 积分的端点奇性怎样控制？¶

先备知识¶

熟悉有限端点反常积分、幂函数比较和一元换元。

学习目标¶

能分别分析两个端点，并证明 Beta 函数的参数对称性。

牵引问题¶

同一积分的两个端点为何给出两个独立参数条件？

探索与猜想¶

靠近零时只有 \(x^{p-1}\) 可能奇异，靠近一时只有 \((1-x)^{q-1}\) 可能奇异。

概念与理论¶

定义与收敛域¶

在 \(1/2\) 处分拆。左半段的 \((1-x)^{q-1}\) 有正的上下界，故收敛恰需 \(p>0\)；右半段令 \(u=1-x\)，收敛恰需 \(q>0\)。因此两个参数大于 0 是收敛的充要条件，两个端点奇性必须分别控制。

对称性¶

换元 \(u=1-x\) 得

该对称性交换两个端点的角色，却不能省略任一端的收敛检查。

例题与迁移¶

例 1：简单值¶

\(B(1,q)=\int_0^1(1-x)^{q-1}dx=1/q\)。

例 2：端点失败¶

\(p=0\) 时左端出现 \(1/x\) 型发散，无论 \(q\) 多大都不能补救。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

哪个参数控制零端？

即时检验 2¶

哪个参数控制一端？

常见误区与后续¶

• 两端误差在数值计算中也必须分别预算。
• 不要从积分区间有限误判为一定正常可积。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 Beta 定义。

习题 2¶

收敛域是什么？

习题 3¶

为何在中点分拆？

习题 4¶

左端比较哪一幂？

习题 5¶

右端换元是什么？

习题 6¶

对称式是什么？

习题 7¶

\(B(1,q)\) 是多少？

习题 8¶

\(B(p,1)\) 是多少？

习题 9¶

\(p=0\) 为何发散？

习题 10¶

有限区间为何仍会反常？