Fejér 平均为何比普通部分和更稳定？¶

先备知识¶

掌握 Fourier 系数、逐点收敛、Parseval 等式和均方误差。

从算术平均推导 Fejér 核并证明收敛。

对部分和取平均为什么能压低核的振荡？

同时追踪固定点、移动极值点和有限采样，避免混用不同极限。

定义部分和的算术平均

\[ \sigma_Nf=\frac1{N+1}\sum_{k=0}^{N}S_kf. \]

交换有限和与积分得到 Fejér 核

\[ K_N(t)=\frac1{2(N+1)} \left(\frac{\sin((N+1)t/2)}{\sin(t/2)}\right)^2. \]

平方形式说明非负；对一周期积分为 \(\pi\)，故卷积中的归一化给单位质量；对任意固定 \(\delta>0\)，\(\delta\le |t|\le\pi\) 上分母远离零，核质量趋于零，这就是集中性。

非负、单位质量和集中性结合连续周期函数的一致连续性，推出 \(\sigma_Nf\) 一致收敛到 \(f\)。对分段连续函数，在连续点趋于函数值，在跳点趋于左右极限半和。

有限图像很有说服力，却不会自动提供无限结论或一致误差界。

先完成解析恒等式和核性质，再解释有限重建与误差指标。

把卷积误差拆成 (|t|<delta) 与外部区域。内部由一致连续性控制，外部由集中性控制；单位质量保证误差估计不丢常数。证明顺序必须先完成三个核性质。

周期性用于归一化；连续性、分段光滑性或平方可积性只在相应定理处使用。

程序状态和采样值只描述给定有限输入，不能替代理论极限。

连续三角多项式的 Fejér 平均直接趋近自身。

方波跳点仍取半和，但邻域振荡更稳定。

有限计算应返回什么状态？

答案

finite_truncation_only。

采样最大误差是一致误差证书吗？

答案

不是，它只覆盖有限网格。

有限采样只作展示；证明必须来自解析恒等式或收敛定理。