有界数列为何总能抽出收敛子列？¶
先备知识¶
长度趋于零的非空闭区间套有唯一公共点。子列抽取还要求指标严格递增；因此“区间缩小”与“指标选择”必须分别证明。
学习目标¶
- 陈述 Bolzano--Weierstrass 定理；2. 完整保持无限选择不变量；3. 构造严格递增指标；4. 证明抽取极限属于初始闭区间。
牵引问题¶
有界振荡数列未必收敛，但无限多项被困在有限区间里。不断二分时，为什么总有一半仍容纳无限多项，并且怎样从这些区间中选出同一子列？
探索与猜想¶
一个区间内若有无限多个项，把它分成两个闭半区间，则不可能两边都只含有限多个项；至少一边仍含无限多个项。共享中点不会破坏这个结论。
概念与理论¶
Bolzano--Weierstrass 定理¶
定理。 每个有界实数数列都有收敛子列。
证明。 设 \(a_n\in[A,B]\)。令 \(I_0=[A,B]\)。保持不变量：
\(I_j\) 是非空闭区间，\(I_j\subseteq I_{j-1}\)，并且集合 \(\{n:a_n\in I_j\}\) 是无限集。
若 \(I_{j-1}=[\alpha,\beta]\)，以中点 \(m=(\alpha+\beta)/2\) 分成 \([\alpha,m]\) 与 \([m,\beta]\)。若两半各只含有限多个项，则它们的并也只含有限多个项，与 \(I_{j-1}\) 中有无限多个项矛盾。选一个仍含无限多个项的闭半区间作为 \(I_j\)。于是归纳得到闭区间套，且
区间套定理给出唯一 \(p\in\bigcap_{j=0}^{\infty}I_j\)。特别地 \(p\in I_0=[A,B]\)；这一步明确保证所得极限属于原闭区间。
现在构造指标。令 \(n_0=0\)。因 \(I_j\) 含无限多个数列项，满足 \(a_n\in I_j\) 的指标不可能全都不超过 \(n_{j-1}\)；故可选
于是 \((n_j)\) 严格递增。又 \(p,a_{n_j}\in I_j\)，所以
故 \(a_{n_j}\to p\)。\(\square\)
证明中不能省略的三件事¶
无限项不变量保证每一步仍能选择；“超过上次指标”保证是真子列；公共点属于所有 \(I_j\) 保证距离由区间长度控制。这三件事彼此不能替代。
例题与迁移¶
例题 1：有界振荡仍可抽取¶
\(a_n=(-1)^n+n^{-1}\) 位于 \([-1,2]\)。定理保证有收敛子列；显式地，偶数项趋于 \(1\)，奇数项趋于 \(-1\)。定理只保证“至少一个”，不保证原数列收敛或极限唯一。
例题 2：有限值数列¶
若每项都属于有限集 \(\{c_1,\ldots,c_m\}\)，至少有一个值出现无限多次，否则全体项数是有限数之和。按递增指标抽出恒等于该值的子列，它当然收敛。
即时检验与回望¶
- 二分后为什么至少有一半含无限多个项？
答案
若两半都只含有限多个项，它们的并也只含有限多个项；原区间内每一项属于至少一半，便与原区间含无限多个项矛盾。
- 为什么不能在每个 \(I_j\) 中随便选一个项？
答案
随便选可能重复旧指标或倒退，得不到子列。必须利用“无限多个指标”选取 \(n_j>n_{j-1}\)。
习题与答案¶
习题 1：初始退化区间¶
若 \(A=B\)，定理的证明如何简化？
答案
所有项都等于 \(A\)，原数列本身收敛到 \(A\)，无需二分。也可取所有 \(I_j=[A,A]\) 与 \(n_j=j\)。
习题 2：三等分版本¶
把每步二分改为三等分，说明证明仍成立。
答案
三个闭子区间的并覆盖原区间；若每个只含有限多项，其并也有限，故至少一个含无限多项。长度变为 \((B-A)/3^j\to0\)，其余抽取步骤不变。
习题 3：极限位置¶
证明若所有 \(a_n\in[A,B]\)，任何收敛子列的极限也属于 \([A,B]\)。
答案
若极限 \(p>B\)，取 \(\varepsilon=(p-B)/2\)，充分后子列项大于 \((p+B)/2>B\)，矛盾；\(p<A\) 同理。因此 \(A\le p\le B\)。
习题 4：有界性的必要性¶
给出没有收敛子列的无界数列。
答案
\(a_n=n\)。任一子列指标满足 \(n_k\ge k\)，故 \(a_{n_k}=n_k\to+\infty\)，不可能收敛到有限实数。
习题 5：定量抽取¶
在证明中，要保证 \(|a_{n_j}-p|<\varepsilon\)，给出对 \(j\) 的充分条件。
答案
只需 \((B-A)/2^j<\varepsilon\)。当 \(B>A\) 时可取 \(j>\log_2((B-A)/\varepsilon)\)；若 \(B=A\) 则误差恒为零。
常见误区与后续¶
- “无限多个项”是每一层都要保持的不变量。
- 区间套先产生位置 \(p\)，严格递增选择再产生子列；顺序不可混淆。
- 定理不说有界数列收敛。下一单元用它为 Cauchy 数列抽取收敛子列，再将子列极限传播到整列。