Newton 迭代为什么可能快速收敛，也可能失败？¶

先备知识¶

第 12 章已经区分“连续函数存在根”和“迭代能够找到根”；第 16 章给出带余项的 Taylor 公式；第 17.2 单元说明凸函数的切线位于图像下方。本页把三者组合起来研究 Newton 迭代。

你还需要会使用误差 \(e_n=x_n-r\) 描述收敛速度。数值实验可以展示轨迹，但定理条件 决定轨迹是否具有证明。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 从切线横截距推导 Newton 公式；
2. 核验一组足够强的区间条件并证明单调收敛；
3. 证明简单根附近的局部二次误差估计；
4. 推导重数为 \(m\) 时普通 Newton 的线性主项；
5. 用导数过小、初值不当和二周期解释纯 Newton 的失败。

牵引问题¶

二分法只用函数值符号，每步稳定地缩小区间。Newton 法还使用导数，往往几步就获得 很多正确数字，却可能一步跳出目标区域、遇到零导数，甚至在两个点之间永久循环。 “通常很快”怎样变成一条有条件的定理？失败又来自哪里？

探索与猜想¶

在点 \(x_n\) 处，用切线

代替原曲线。令切线高度为零，得到横轴交点

这只是一个构造。它立即暴露三个问题：

1. 若 \(f'(x_n)=0\) 或过小，除法失效或步长过大；
2. 切线交点可能离开我们了解函数性质的区间；
3. 即使每一步都有定义，迭代点也未必收敛。

因此，公式本身不带全局收敛保证。

概念与理论¶

Newton 映射¶

在 \(f'(x)\ne0\) 的点定义

Newton 迭代是 \(x_{n+1}=N(x_n)\)。若迭代收敛到 \(r\)，且 \(N\) 在 \(r\) 连续， 则 \(r=N(r)\)，从而 \(f(r)=0\)。反过来，“\(f(r)=0\)”并不自动保证附近所有初值 都收敛到 \(r\)。

强区间条件下的单调收敛¶

定理。 设 \(f\in C^2[a,b]\)，并满足

且 \(f''\) 在 \([a,b]\) 上不变号。选择一个端点 \(x_0\)，使

则 Newton 迭代有定义，始终留在 \([a,b]\) 内，并单调收敛到该区间内的唯一根。

证明。

因为 \(f'\) 连续且从不为零，它在整个区间上同号，所以 \(f\) 严格单调。介值定理给出 至少一个根，严格单调性给出至多一个根；记唯一根为 \(r\)。

Newton 映射在把 \(f\) 替换为 \(-f\) 时不变，而乘以 \(-1\) 可把 \(f'<0\) 的情况 化为 \(f'>0\)。因此只需处理 \(f'>0\)。此时

若 \(f''\ge0\)，函数凸，条件 \(f(x_0)f''(x_0)>0\) 迫使选择右端点一侧的 \(x_0\)，于是 \(x_0>r\)、\(f(x_0)>0\)。凸函数在 \(x_n\) 处的支撑线不等式给出

因为 \(f'(x_n)>0\)，整理得

所以只要 \(x_n>r\)，下一点仍在 \([r,x_n)\) 内。归纳可知 \((x_n)\) 单调递减且以 \(r\) 为下界。

若 \(f''\le0\)，函数凹，端点条件迫使从根左侧 \(f(x_0)<0\) 的端点启动。凹函数的 切线位于图像上方，同样整理得到

所以序列单调递增且以 \(r\) 为上界。

两种情形下序列都有极限 \(L\in[a,b]\)。由于 \(f'(L)\ne0\)，Newton 映射在 \(L\) 连续。对递推式取极限：

故 \(f(L)=0\)。根唯一，所以 \(L=r\)。证毕。

这是一条方便核验的充分条件，不是 Newton 收敛的必要条件。条件失效时，算法可能仍 收敛，但不能引用本定理作保证。

简单根附近的局部二次收敛¶

设 \(r\) 是简单根，即

由 \(f'\) 的连续性，可以在 \(r\) 的一个闭邻域内找到常数

若 \(f''\) 在该邻域连续，再取

对 \(r\) 在 \(x_n\) 处使用二阶 Taylor 公式，存在 \(x_n,r\) 之间的 \(\xi_n\) 使

记 \(e_n=x_n-r\)，整理得

因此

令 \(q=M/(2\mu)\)。再把初值限制为 \(|e_0|\le\delta\)，其中 \(q\delta<1\)，便有

这同时保证后续迭代留在所选邻域内。误差近似平方，称为局部二次收敛。

“局部”是结论不可删除的一部分：这条局部结论只有在初值足够接近简单根，并且迭代 始终留在导数下界和二阶导数上界成立的邻域内时才有效。

重根导致收敛阶退化¶

设 \(r\) 是重数为 \(m\ge2\) 的根，在根附近可写成

其中 \(g\) 在根的某个邻域内属于 \(C^1\)。令 \(e=x-r\)，则

普通 Newton 一步后的误差为

主项是误差的一次方，而不是平方，所以普通 Newton 通常只剩线性收敛。

对

递推甚至可以精确化简为

每步只把误差减半。

有定义也可能不收敛¶

对于

Newton 映射在 \(0,1\) 都有定义，却满足

从 \(x_0=0\) 出发得到永久二周期。小残差、步长变小和真正收敛必须分别检查；有限次 迭代轨迹不能证明未来行为。

例题与迁移¶

例 1：\(x^3-x-1=0\) 的强条件路线¶

令

在 \([1,2]\) 上，

根存在且唯一。因为

应从 \(x_0=2\) 启动。强区间定理保证迭代从根右侧单调下降并收敛。前几步为

根约为 \(1.3247179572\)。这些数值展示速度，而收敛保证来自前面对全部条件的核验。

例 2：重根只留下线性速度¶

对 \(f(x)=(x-1)^2\)，从 \(x_0=2\) 出发：

误差依次为

误差比稳定为 \(1/2\)，而不是误差平方。函数和导数都很光滑，降阶的原因是 \(f'(1)=0\)，根不是简单根。

例 3：纯 Newton 的二周期¶

对 \(f(x)=x^3-2x+2\)，从 \(x_0=0\) 出发：

于是 \(0,1,0,1,\ldots\) 永久循环。函数本身确有实根，但这个初值找不到它。改变初值 可能成功，却不能据此宣布纯 Newton 全局收敛。下一单元将保留变号区间，在不安全时 退回二分步。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

对 \(f(x)=x^2-2\) 在 \([1,2]\) 上应用强区间定理，应从哪个端点启动？

即时检验 2¶

若误差依次约为 \(10^{-2},10^{-4},10^{-8}\)，它更像线性收敛还是二次收敛？为什么？

回望：区间定理控制“从哪里出发、是否收敛”，局部误差定理控制“接近以后有多快”。 它们回答不同问题，不能相互替代。

习题与答案¶

习题 1：平方根迭代¶

对 \(a>0\)，推导求 \(\sqrt a\) 的 Newton 迭代，并说明从 \(x_0>\sqrt a\) 出发时 为什么下一点仍不小于 \(\sqrt a\)。

习题 2：第一步就无定义¶

对 \(f(x)=x^3-1\)，从 \(x_0=0\) 使用 Newton 法会发生什么？这是否说明方程没有根？

习题 3：核验一个区间定理¶

对 \(f(x)=\cos x-x\) 在 \([0,1]\) 上核验强区间定理，并选择启动端点。

习题 4：一般重根的线性因子¶

若根的重数为 \(m=3\)，普通 Newton 在根附近的主误差因子是多少？与 \(m=2\) 相比 更快还是更慢？

习题 5：诊断二周期¶

对 \(f(x)=x^3-2x+2\)，验证从 \(x_0=1\) 出发也进入同一个二周期。残差是否趋于零？

常见误区与后续¶

• 把切线公式当成收敛定理： 公式只定义候选点，定理还需要区间或局部条件。
• 把区间强条件当成必要条件： 条件失效不等于必然失败，只是失去这条证明。
• 删除“局部二次”中的“局部”： 任意远处初值不受邻域误差估计控制。
• 见到光滑函数就断言二次收敛： 重根使 \(f'(r)=0\)，普通 Newton 通常降为线性。
• 只看最后两步很小： 二周期、停滞和浮点舍入都可能制造误导。

下一单元将 Newton 候选限制在一个持续变号的区间中。安全时使用 Newton 步加速， 不安全时退回二分步，并用区间宽度给出可验证误差证书。