一致收敛为什么允许极限进入积分号？¶

先备知识¶

掌握函数列一致收敛、上确界范数与 Riemann 积分估计。

学习目标¶

能用一条定量不等式证明极限进入积分号，并直接读取误差预算。

牵引问题¶

怎样保证第 \(n\) 个函数在整个积分区间上同时接近极限？

探索与猜想¶

若最大误差趋于零，积分误差至多是“积分区间长度乘最大误差”。

概念与理论¶

交换对象¶

比较先取 \(n\to\infty\) 再积分与先积分再取极限是否相同。

定理条件¶

若每个 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且 \(f_n\to f\) 一致收敛，则 \(f\) 可积，并且

证明路线¶

第 25 章已证明一致极限保持 Riemann 可积性。积分差满足精确控制

给定任意 \(\varepsilon>0\)，一致收敛给出 \(N\)，使 \(n\ge N\) 时 \(\lVert f_n-f\rVert_\infty<\varepsilon/(b-a)\)；于是积分差小于 \(\varepsilon\)。

条件用在何处¶

逐个函数可积使左侧积分有定义；一致极限保持极限函数可积；一致范数趋零使右侧误差界 趋零；有限区间长度把函数误差转换成积分误差。

失败边界¶

逐点收敛只给每个 \(x\) 各自的起始指标，不能保证同一个 \(N\) 控制整个区间。

例题与迁移¶

例 1：几何核¶

在 \([0,r]\)、\(0<r<1\) 上， \(f_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k\) 一致收敛到 \(1/(1-x)\)，所以可以逐项积分并取极限。

例 2：定量预算¶

若区间长度为 \(3\)，且 \(\lVert f_n-f\rVert_\infty\le10^{-4}\)，则积分误差不超过 \(3\times10^{-4}\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

区间长度为 \(5\)，最大误差为 \(0.002\)，积分误差至多多少？

即时检验 2¶

一致收敛在证明中提供哪个共同指标？

常见误区与后续¶

• 先确认极限函数可积，再书写右侧积分。
• 误差界是解析结论，不是有限网格观察。

习题与答案¶

习题 1¶

证明常数列 \(f_n=f\) 满足交换结论。

习题 2¶

长度为 \(L\) 时写出误差界。

习题 3¶

若最大误差为 \(C/n\)，积分误差是什么阶？

习题 4¶

为何要假设每个 \(f_n\) 可积？

习题 5¶

一致收敛是否要求所有点误差相同？

习题 6¶

把结论推广到有限面积区域 \(D\)。

习题 7¶

若 \(b<a\)，怎样处理？

习题 8¶

为什么逐点收敛没有共同 \(N\)？

习题 9¶

误差预算 \(\eta\) 下，上确界误差应小于什么？