有限维投影计算怎样验证最佳逼近？¶

先备知识¶

掌握最佳平方逼近和实 Fourier 系数公式。

学习目标¶

用有限程序复核手算，同时保持求积误差与无限过程边界诚实。

牵引问题¶

程序画出的“很像”能证明解析系数或无限收敛吗？

探索与猜想¶

增加面板可改善某些数值，但有限数据仍只描述有限计算。

概念与理论¶

本书唯一实现位于 mathbook_examples.fourier_series。先手算系数，再调用 sampled_fourier_coefficients 复核；其状态固定为 finite_quadrature_only。 fourier_partial_sum 只计算有限截断，状态为 finite_truncation_only。

障碍¶

数值接近可能同时含求积误差、舍入误差和有限截断误差。

证明路线¶

数学最佳性由上一单元证明；程序只核对有限输入的算术结果。

逐步证明¶

对 (f=3+cos2x)，解析系数为 (a_0=6,a_2=1)。有限中点求积应接近这些值； 把解析系数送入部分和则精确重建该有限三角多项式。

假设用在何处¶

程序要求周期正、面板数正、所有输入与中间值有限。

失败边界¶

任何有限截断图像都不能证明逐点、一致或均方收敛。

例题与迁移¶

例 1：有限求积¶

常数 3 返回近似 (a_0=6)，并明确标记有限求积状态。

例 2：有限截断¶

给定 (b_1=1)，在 (x=pi/2) 的一阶部分和为 1。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

状态字段为何属于结果？

即时检验 2¶

增加面板能否产生解析证书？

常见误区与后续¶

• 先解析计算，再数值复核，顺序不可倒置。
• 有限截断误差不是无限级数的收敛证明。

习题与答案¶

习题 1¶

常数 2 的 (a_0) 应为多少？

习题 2¶

finite_quadrature_only 排除了什么结论？

习题 3¶

finite_truncation_only 排除了什么结论？

习题 4¶

哪种误差来自积分近似？

习题 5¶

哪种误差来自只保留前 (N) 项？

习题 6¶

为什么拒绝 NaN？

习题 7¶

数值输出能否验证函数可积？

习题 8¶

怎样核对常数项约定？

习题 9¶

为何冻结结果对象？

习题 10¶

本单元的可信结论是什么？