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功、质量与平均值怎样选择局部贡献？

先备知识

面积和体积的局部贡献来自几何尺寸。物理模型同样从“小段贡献”开始，但每个量拥有不同 单位与符号：

  • 力乘位移产生功；
  • 线密度乘长度产生质量；
  • 总累积量除以区间长度产生平均值。

本单元默认所有函数在有限闭区间上连续，单位在建模前已经统一。

学习目标

完成本单元后，你应能：

  1. 从变力的局部功建立总功积分；
  2. 保留力与位移方向产生的有向功；
  3. 从非负线密度建立细杆质量；
  4. 从总累积量推出函数平均值；
  5. 区分积分平均与端点平均；
  6. 用单位、符号和上下界检查模型。

牵引问题

常力做功是 \(F\Delta x\)。若力随位置变化，直接用“某个代表力乘总位移”通常不准确。 怎样把位移切成小段，使每段上的力近似常量，再让这种近似在极限中变得精确？

探索与猜想

在小区间 \([x_{i-1},x_i]\) 取样 \(\xi_i\)。局部功近似为

\[ F(\xi_i)\Delta x_i. \]

把这些量相加就是 \(F\) 的 Riemann 和。类似地，若 \(\rho(x)\) 表示每单位长度的 质量，则小段质量是 \(\rho(\xi_i)\Delta x_i\)。

模型正确性的第一道检查不是求原函数，而是看“局部贡献的单位乘起来是否得到目标单位”。

概念与理论

变力做功

定理。 物体沿坐标轴从位置 \(a\) 移到 \(b\)，位置 \(x\) 处沿运动轴正方向的力为 连续函数 \(F(x)\)。总有向功为

\[ W=\int_a^b F(x)\,dx. \]

推导。 把位移区间分割，在第 \(i\) 段取样 \(\xi_i\)。若该小段上力近似为 \(F(\xi_i)\)，局部功为

\[ \Delta W_i\approx F(\xi_i)\Delta x_i. \]

总功近似

\[ \sum_iF(\xi_i)\Delta x_i. \]

连续性保证这些和在网格趋零时收敛到积分。证毕。

这里 \(F\) 带符号：若力与正向位移相反，局部功为负。交换运动端点也会改变 \(dx\) 的方向。若问题问“外力克服阻力所做的功”，必须先明确所用力的方向合同。

线密度与质量

设细杆占据 \([a,b]\)，线密度 \(\rho(x)\) 的单位是质量/长度，并满足

\[ \rho(x)\ge 0. \]

第 \(i\) 小段的质量近似为

\[ \rho(\xi_i)\Delta x_i. \]

因此总质量为

\[ m=\int_a^b\rho(x)\,dx. \]

质量模型要求密度非负；若给出的表达式在某处为负，应先检查坐标范围、参数条件或模型 解释，而不是把负质量直接积分进去。

函数平均值

设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(a<b\)。定义函数在该区间上的平均值为

\[ f_{\mathrm{avg}} =\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]

理由是：若用常值 \(c\) 替换 \(f\)，并要求总累积量保持不变，则

\[ c(b-a)=\int_a^b f(x)\,dx, \]

所以 \(c=f_{\mathrm{avg}}\)。它是按位置连续加权的平均，不是一般意义下的 \((f(a)+f(b))/2\)。

若 \(m\le f(x)\le M\)，积分保序给出

\[ m\le f_{\mathrm{avg}}\le M. \]

这是一条快速范围检查。

单位合同

模型 局部贡献 积分变量单位 积分后单位 符号合同
变力做功 \(F(x)\,dx\) 长度 力×长度 可正、可负
细杆质量 \(\rho(x)\,dx\) 长度 质量 \(\rho\ge0\)
函数平均值 \(f(x)\,dx/(b-a)\) 长度 与 \(f\) 相同 继承 \(f\)

单位不匹配说明局部贡献或积分变量选错；它不是计算结束后的排版问题。

例题与迁移

例 1：弹簧做功

弹簧满足 Hooke 模型 \(F(x)=kx\)，其中 \(x\) 是相对自然长度的伸长。把弹簧从 \(x=a\) 拉到 \(x=b\)，\(0\le a<b\)，外力做功

\[ W=\int_a^b kx\,dx=\frac{k}{2}(b^2-a^2). \]

若 \(k\) 的单位为 N/m、\(x\) 为 m，则结果单位为 N·m，即 J。

例 2：变密度细杆

一根长 \(2\) m 的细杆线密度为

\[ \rho(x)=2+x\quad\text{kg/m},\qquad0\le x\le2. \]

总质量

\[ m=\int_0^2(2+x)\,dx=6\ \text{kg}. \]

因为密度在 \(2\) 与 \(4\) kg/m 之间，质量应在 \(4\) 与 \(8\) kg 之间，结果合理。

例 3：平均值不是端点平均

求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,2]\) 上的平均值：

\[ f_{\mathrm{avg}} =\frac12\int_0^2x^2\,dx =\frac43. \]

端点平均是 \((0+4)/2=2\)，与积分平均不同。端点平均只使用两个点，积分平均累计整个 区间。

即时检验与回望

即时检验 1

一个力始终与正向位移相反。若把它的带符号分量记为 \(F(x)<0\)， \(\int_a^bF(x)\,dx\) 应为正还是负？

答案

为负，因为局部功 \(F(x)\,dx<0\)。若问题改问外界克服该阻力所做的功，通常取 相反方向的外力，需另写符号合同，不能事后随意取绝对值。

即时检验 2

温度 \(T(x)\) 的单位为摄氏度。为什么 \(\frac1{b-a}\int_a^bT(x)\,dx\) 仍是摄氏度？

答案

积分先产生“摄氏度×长度”，再除以区间长度，长度单位消去，所以平均值与 \(T\) 保持同一单位。

习题与答案

练习 1：线性变力

力 \(F(x)=3+2x\) N 把物体从 \(x=0\) m 推到 \(x=4\) m。求功。

答案
\[ W=\int_0^4(3+2x)\,dx=[3x+x^2]_0^4=28\ \text{J}. \]

单位是 N·m。

练习 2：有向功

力分量 \(F(x)=x-2\) N，物体从 \(x=0\) 移到 \(x=3\) m。求有向功并解释符号。

答案
\[ W=\int_0^3(x-2)\,dx =\frac92-6=-\frac32\ \text{J}. \]

前两米的负功在总量上超过最后一米的正功，所以净功为负。

练习 3：分段密度

细杆占据 \([0,3]\)，前 \(1\) m 的线密度为 \(2\) kg/m，后 \(2\) m 为 \(3+x\) kg/m。求质量。

答案

在材料变化点分段：

\[ m=\int_0^1 2\,dx+\int_1^3(3+x)\,dx =2+10=12\ \text{kg}. \]

练习 4：参数非负条件

细杆位于 \([0,2]\)，候选密度为 \(\rho(x)=c-x\)。参数 \(c\) 至少满足什么条件， 该式才能在全杆上作为非负线密度？

答案

最小值出现在 \(x=2\)，要求 \(c-2\ge0\)，即 \(c\ge2\)。若只要求总积分为正 并不够，因为局部仍可能出现负密度。

练习 5：函数平均值

求 \(f(x)=1/x\) 在 \([1,e]\) 上的平均值，并检查它是否位于函数最小值与最大值之间。

答案
\[ f_{\mathrm{avg}} =\frac1{e-1}\int_1^e\frac1x\,dx =\frac1{e-1}. \]

函数值范围为 \([1/e,1]\)，且 \(1/e<1/(e-1)<1\)。

练习 6：有限水槽抽水模型

一个竖直圆柱水槽高 \(H\)、截面积 \(A\)，装满单位体积重量为 \(\gamma\) 的液体。 把所有液体抽到槽顶，取从槽底向上的坐标 \(y\)。建立外力做功模型。

答案

高度 \(y\) 处厚度 \(dy\) 的薄层体积为 \(A\,dy\)，重量为 \(\gamma A\,dy\)，提升距离为 \(H-y\)。局部功为

\[ dW=\gamma A(H-y)\,dy, \]

所以

\[ W=\int_0^H\gamma A(H-y)\,dy =\frac12\gamma AH^2. \]

单位为“力×长度”，且平均提升距离为 \(H/2\)，提供独立回验。

常见误区与后续

  • 力的方向、运动方向和“谁对谁做功”必须在积分前约定；
  • 密度乘长度才是质量，不能把密度直接与总长度之外的变量相乘；
  • 平均值分母是区间长度，不是端点个数；
  • 单位、符号和范围检查应与解析计算并行。

本单元只处理有限闭区间上的一元模型。流体压力、无界密度和更高维质量分布不属于本章 核心；下一单元只综合已有模型，不再新增物理公式。