连续函数为什么在闭矩形上可积？¶

先备知识¶

掌握闭有界集的紧致性、一致连续性及上一单元的分割语言。

学习目标¶

能把点态连续升级为全矩形统一控制，并完成连续可积性的证明。

牵引问题¶

每一点都有自己的连续半径，为什么能找到适用于整个矩形的同一个网格尺度？

探索与猜想¶

闭矩形紧致，连续函数在其上一致连续。因此所有足够小的小矩形内，函数最大值与 最小值之差都很小；把这些局部误差乘面积再求和，得到全局控制。

概念与理论¶

对小矩形 \(Q\)，定义函数的振幅

若在分割 \(P\) 的每个 \(Q\) 上振幅至多 \(\eta\)，则任意两组取样和之差至多 \(\eta\,\operatorname{area}(R)\)。

连续函数可积定理¶

连续函数 \(f:R\to\mathbb R\) 在闭矩形 \(R\) 上 Riemann 可积。

证明。 连续性与闭矩形的紧致性给出一致连续性。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta>0\)，使 \(\|x-y\|<\delta\) 时

网格小于 \(\delta\) 时，每个小矩形的振幅都小于右端常数。因此任意两组取样和 之差小于 \(\varepsilon/2\)。固定一列网格趋零的分割和；上述估计使其成为 Cauchy 列，故收敛到某个 \(I\)。再把任意足够细的和与该列中一个细和比较，得到它距 \(I\) 小于 \(\varepsilon\)。这正是可积定义。证毕。

紧致性只在“连续推出一致连续”处使用；若定义域不紧，不能直接沿用同一证明。

例题与迁移¶

例 1：多项式¶

\(f(x,y)=x^2+xy\) 在任意闭矩形上连续，故无需先计算积分就可断言其可积。

例 2：开域上的风险¶

\(f(x,y)=1/x\) 在 \((0,1]\times[0,1]\) 上连续，却不有界；闭矩形证明不能套用， 靠近 \(x=0\) 的振幅无法由统一尺度控制。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

证明中为何除以矩形总面积？

即时检验 2¶

连续性在哪一步升级为统一结论？

常见误区与后续¶

• “每点连续”不能直接取所有局部半径的最小值。
• 可积性定理保证积分存在，不自动给出闭式值。
• 下一单元从定义证明积分运算规则。

习题与答案¶

习题 1¶

连续函数在闭矩形上为何有界？

习题 2¶

振幅为零意味着什么？

习题 3¶

若总面积为 \(A\)，局部振幅小于 \(\varepsilon/A\)，全局误差怎样？

习题 4¶

一致连续是否自动给出可积性所需的有界性？

习题 5¶

\(\sin(xy)\) 在 \([0,2]^2\) 上是否可积？

习题 6¶

网格控制为何使用直径？

习题 7¶

证明是否计算了积分值？

习题 8¶

闭矩形可替换为任意开集吗？

习题 9¶

概括证明的三步。