非负可测函数的积分怎样由下逼近定义？¶

先备知识¶

熟悉简单函数逼近、扩展实数上确界与简单函数积分。

学习目标¶

用全部下方简单函数定义非负可测函数的积分，并分析零与无穷情形。

牵引问题¶

为何选择所有下方阶梯，而不是固定一列或有限采样？

探索与猜想¶

下方简单函数越丰富，所得“面积”越大；取上确界消除具体逼近选择。

概念与理论¶

定义¶

对非负可测 f，令

零函数总在集合中，所以定义良好，值可为 +∞。第 48 章二进下逼近说明这一定义 不是空洞的，但定义本身不依赖某一列。

零积分判据¶

若 f=0 几乎处处，则任何 0≤φ≤f 也只可能在零测集上非零，故积分为零。 反之，若 ∫f=0，则对每个 n，简单函数 (1/n)1_{{f>1/n}}≤f，因而 m({f>1/n})=0；而 {f>0} 是这些集合的可数并，故 f=0 几乎处处。

假设边界¶

非负性避免尚未定义的正负抵消；可测性保证所用水平集可测。

例题与迁移¶

例 1：指标函数¶

定义立即给出 \(\int1_Edm=m(E)\)，与简单函数定义兼容。

例 2：无穷积分¶

常函数 1 在实轴上的积分为 +∞，因为下方区间指标函数积分可任意大。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么固定采样网格不能定义积分？

即时检验 2¶

积分为零是否推出处处为零？

常见误区与后续¶

• 上确界是定义，不是数值最大值。
• 无穷积分是合法扩展实值，并不等同于发散错误。

习题与答案¶

习题 1¶

为何候选集合非空？

习题 2¶

定义是否依赖二进逼近？

习题 3¶

积分值域是什么？

习题 4¶

水平集判据用了哪些阈值？

习题 5¶

为何正值集是可数并？

习题 6¶

常数 1 在有限测度集 E 上积分多少？

习题 7¶

下方条件为何重要？

习题 8¶

零测集上的无穷值影响积分吗？

习题 9¶

有限采样能认证上确界吗？

习题 10¶

下一节要证明什么？