隐式关系与高阶导数怎样记录复杂变化？¶
先备知识¶
你需要掌握代数、乘积和链式求导法则，并会区分“一个函数满足某条恒等式”与“某条方程 能够确定一个函数”。本单元中的隐式求导始终从一个已经给定、在邻域内可导的函数分支 出发。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 递归定义二阶及更高阶导数；
- 说明一阶可导为什么不自动保证二阶可导；
- 在已知可微函数分支的条件下对恒等式求导；
- 求隐式关系确定的一阶、二阶导数并核验分母；
- 识别代数方程、局部存在性与求导计算之间的逻辑边界。
牵引问题¶
圆满足
在上半圆内部可以写成 \(y=\sqrt{1-x^2}\)，但直接求根往往让公式变长；更复杂的关系 甚至很难显式解出 \(y\)。若已经知道某个可导函数 \(y(x)\) 在一段邻域中满足
能否直接从这个恒等式读出切线斜率和曲率方向？又为什么在圆的最左、最右两点，公式会 出现零分母？
探索与猜想¶
假设 \(y\) 已经是可导函数。对恒等式两边求导：
当 \(y(x)\ne0\) 时，可以解得
这个计算没有证明 \(y\) 存在，也没有证明它可导；这些性质是计算的输入。零分母则发出 警告：关系在该点也许更适合把 \(x\) 看成 \(y\) 的函数，或需要另行分析。
若 \(y\) 还二阶可导，对上式再求导：
这说明高阶导数只是把同一局部变化再分析一次，但每求一次导都需要额外的存在性。
概念与理论¶
定义：高阶导数¶
若 \(f'\) 在 \(a\) 的一个邻域内有定义，并且 \(f'\) 在 \(a\) 处可导，就把它的导数 称为 \(f\) 在 \(a\) 处的二阶导数：
递归地，若 \(f^{(n-1)}\) 在相应邻域内有定义并在 \(a\) 处可导，则
常用记号还包括
其中 \(d^2y/dx^2\) 是整体记号，不是普通分数的平方。
一阶可导不保证二阶可导¶
考虑
在 \(x=0\) 处，
所以 \(f'(0)=0\)。在 \(x\ne0\) 处逐段求导，并与零点合并，可得
但
左极限为 \(-2\)，右极限为 \(2\)，所以 \(f''(0)\) 不存在。高阶可导性必须逐阶 声明，不能从“\(f\) 可导”自动升级。
定理：条件式隐式求导¶
先已知 \(y\) 在该点可导，并且含 \(x\) 与 \(y(x)\) 的恒等式在该点的一个邻域内 成立，才能对恒等式两边应用代数法则和链式法则。求导所得等式是该可微分支必须满足的 必要关系；若要从中解出 \(y'\)，还必须核验被除因子非零。
证明障碍。 一条方程描述的可能是一条曲线、若干分支、孤立点，甚至空集。形式上把 \(y\) 写进方程，并不能自动获得局部函数或可导性。
证明说明。 已知 \(y\) 可导后，\(x\mapsto x\) 与 \(x\mapsto y(x)\) 都是一元 可导函数。任何由本章已证明的有限次和、积、商与复合组成的恒等式，都可以逐层应用相应 求导法则。因为原等式在整个邻域成立，两边是同一个一元函数，所以导数相等。若整理时 出现 \(A(x)y'(x)=B(x)\)，只有 \(A(x)\ne0\) 时才能写成 \(y'(x)=B(x)/A(x)\)。这完成的是条件式计算，不是函数分支的存在性证明。\(\square\)
圆上的一阶与二阶导数¶
设已经给定二阶可导函数 \(y(x)\)，并且它在邻域内满足
第一次求导得
当 \(y\ne0\) 时，
第二次求导前需要 \(y'\) 可导。对未除法的等式求导更稳妥：
仍在 \(y\ne0\) 的点，
代入 \(y'=-x/y\) 及 \(x^2+y^2=1\)，
每一次除以 \(y\) 都依赖同一个非零条件。若 \(y=0\)，上述分式公式失效；不能从公式 失效单独断言曲线不存在，只能说当前的 \(y(x)\) 可微表示和除法步骤没有得到许可。
高阶导数的结构模式¶
高阶求导常出现两类模式：
- 终止： \(n\) 次多项式求导超过 \(n\) 次后恒为零；
- 循环或保持： 指数函数每次求导保持不变，正弦、余弦每四次求导回到原函数。
例如
而
这些模式来自逐次应用已经证明的一阶法则，不代表任意函数都具有任意阶导数。
例题与迁移¶
例题1：识别高阶导数模式¶
设
逐次求导：
四次之后，多项式部分降为常数，指数部分不变，正弦部分完成一个周期。继续一次求导后， 多项式部分消失。
例题2：已知参数关系的求导¶
设
两个函数已经显式给出且处处可导，并满足恒等式
不先代入显式公式，对恒等式求导得
因为 \(x(t)=t^2+1>0\)，可以解出
这与直接对 \(y(t)\) 求导一致。例题之所以合法，是因为函数及其可导性已经先行给出。
即时检验与回望¶
检验1：一阶可导能否推出二阶可导？¶
若只知道 \(f\) 在 \(a\) 处可导，能否写出 \(f''(a)\)？
答案
不能。\(f''(a)\) 的定义要求 \(f'\) 在 \(a\) 的邻域内有定义，并且 \(f'\) 在 \(a\) 处可导。函数 \(f(x)=x|x|\) 在零点可导，但 \(f'(x)=2|x|\) 在零点不可导，因此 \(f''(0)\) 不存在。
检验2：隐式公式中的零分母¶
由 \(2x+2yy'=0\) 得到 \(y'=-x/y\) 时，必须附加什么条件？
答案
必须有 \(y\ne0\)。未除法的关系 \(2x+2yy'=0\) 可以在已知可微分支上成立，但 解出 \(y'\) 需要除以 \(2y\)。当 \(y=0\) 时，这一步不合法，应回到关系本身并 重新分析局部表示。
习题与答案¶
习题1：多项式的高阶导数¶
设 \(p(x)=2x^5-3x^2+1\)。求 \(p^{(3)}(x)\) 和 \(p^{(6)}(x)\)。
答案
逐次求导：
再求导得到 \(p^{(4)}(x)=240x\)、\(p^{(5)}(x)=240\)，所以 \(p^{(6)}(x)=0\)。
习题2：圆的下半分支¶
已知 \(y(x)=-\sqrt{1-x^2}\) 在 \(|x|<1\) 上二阶可导。用隐式关系求 \(y'(0)\) 和 \(y''(0)\)。
答案
该分支满足 \(x^2+y^2=1\)，且 \(y(0)=-1\ne0\)。因此
二阶公式给出
下半圆在最低点向上弯，正的二阶导数与几何图像一致。
习题3：不同分支给出不同符号¶
关系 \(y^2=x+1\) 在 \(x>-1\) 上有上下两个已知可微分支。由关系求 \(y'\)，并说明 两分支的导数符号。
答案
对已知分支求导：
因为 \(x>-1\) 时两个分支都满足 \(y\ne0\)，
上分支 \(y=\sqrt{x+1}>0\)，所以 \(y'>0\)；下分支 \(y=-\sqrt{x+1}<0\)，所以 \(y'<0\)。同一关系不能在未指定分支时给出唯一斜率。
习题4：二阶隐式求导¶
已知二阶可导函数 \(y(x)\) 在邻域内满足
且 \(y\ne0\)。求 \(y'\) 与 \(y''\)。
答案
第一次求导：
对未整理式再求导：
因 \(y\ne0\)，
两次除法都使用了 \(y\ne0\)。
习题5：识别逻辑方向¶
判断下列推理是否充分：“方程 \(x^2+y^2=1\) 含有 \(y\)，所以在每个圆上点附近都存在 可导函数 \(y(x)\)，并可写 \(y'=-x/y\)。”
答案
不充分。方程本身没有自动给出以 \(x\) 为自变量的单值可导分支；在 \((\pm1,0)\) 附近，圆也不能表示成通过该点的可导 \(y(x)\) 图像。即使已知分支 存在，写出 \(y'=-x/y\) 还要求 \(y\ne0\)。正确顺序是先建立或明确假设局部可微 分支，再对邻域恒等式求导，最后核验除法条件。
常见误区与后续¶
- 把方程中的字母 \(y\) 自动视为可导函数。 隐式求导的输入必须先包含局部函数 分支及其可导性。
- 从导数关系反推存在性。 求导结果只是已知可微分支的必要关系，不负责创造分支。
- 第一次求导合法，就默认可以再求一次。 二阶求导需要 \(y'\) 继续可导。
- 只在最后检查分母。 每一次整理和代入发生除法时，都要当场记录非零条件。
- 把高阶导数记号当普通分数。 \(d^2y/dx^2\) 表示连续执行两次求导运算。
本单元完成了第 14 章的局部求导工具箱。下一章将从“一点附近的局部信息”转向“区间上 至少存在某个点满足怎样的导数关系”，届时需要新的整体性论证。