Riemann 可积函数与 Lebesgue 积分怎样兼容？¶

先备知识¶

掌握闭区间 Riemann 上下和、零测集与非负简单函数积分。

学习目标¶

在一维闭区间上证明两种积分相容，并解释不连续点判据。

牵引问题¶

新积分是否改变旧积分已有的答案？哪些有界函数被真正扩展？

探索与猜想¶

分割的下阶梯与上阶梯夹住函数；网格细化时两边面积差由振幅控制。

概念与理论¶

积分兼容¶

若有界 f 在 [a,b] 上 Riemann 可积，则其不连续点集为零测集，修改零集后 f 可测。 每个分割 P 给出可测简单下阶梯 s_P≤f≤t_P，且它们的 Lebesgue 积分分别等于 Riemann 下和与上和。取使上下和之差趋零的分割序列，夹逼得到两种积分相同。

一维 Lebesgue 判据¶

有界 f:[a,b]→R Riemann 可积，当且仅当其不连续点集测度为零。 令点 x 的振幅为邻域内上确界与下确界差的下确界，并令振幅集合 D_r={x:ω_f(x)≥1/r}。不连续点集是 \(\bigcup_rD_r\)。 若 Riemann 可积，细分割上“高振幅”小区间的总长度可任意小，故每个 D_r 为零测集。 反之，若各 D_r 零测，先用有限开区间覆盖 D_r 到小总长度，再在其补集利用局部小振幅 与紧致性取有限分割，使总上下和差任意小。

范围¶

这里只给出一维闭区间证明；不调用更高维积分理论。

例题与迁移¶

例 1：单点跳跃¶

只有一个不连续点的有界函数仍 Riemann 可积，两种积分一致。

例 2：Dirichlet 函数¶

处处不连续，故不 Riemann 可积；它可测且 Lebesgue 积分为零。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何要求有界？

即时检验 2¶

判据中“不连续点少”是什么意思？

常见误区与后续¶

• “可数个不连续点”是充分但非必要条件，正确边界是零测集。
• 本节不外推到多维。

习题与答案¶

习题 1¶

下阶梯与 f 的关系是什么？

习题 2¶

上阶梯与 f 的关系是什么？

习题 3¶

两种阶梯积分对应什么？

习题 4¶

振幅为零刻画什么？

习题 5¶

不连续点集如何分解？

习题 6¶

零测覆盖做什么？

习题 7¶

紧致性做什么？

习题 8¶

Dirichlet 函数的 Lebesgue 积分是多少？

习题 9¶

两种积分在共同定义域是否一致？

习题 10¶

本节范围是几维？