邻域、开集、闭集、内部与边界怎样组织局部和整体？¶
先备知识¶
使用 Euclid 距离 \(d(x,y)=\|x-y\|_2\) 和数列极限。
学习目标¶
- 用开球定义邻域、内部与开集；
- 用补集定义闭集；
- 区分内部点、边界点和聚点；
- 用收敛序列刻画闭集。
牵引问题¶
“在集合里面”既可能指属于集合，也可能指周围仍有活动空间。怎样把这两个意思严格 分开？
探索与猜想¶
记 \(B(a,r)=\{x:\|x-a\|_2<r\}\)。点 \(a\) 若能容纳某个完全落在集合中的开球， 就不只是集合成员，而是内部点。
概念与理论¶
开集与闭集¶
集合 \(G\subset\mathbb R^n\) 称为开集，若每个 \(a\in G\) 都存在 \(r>0\)，使 \(B(a,r)\subset G\)。集合 \(F\) 称为闭集，若补集 \(\mathbb R^n\setminus F\) 是开集。
任意开集族的并仍开；有限个开集的交仍开。由 De Morgan 律，任意闭集族的交仍闭， 有限个闭集的并仍闭。“有限”不能删：\((-1/k,1/k)\) 的交是 \(\{0\}\)，并不开。
集合 \(E\) 的内部 \(E^\circ\) 是全部内部点；闭包 \(\overline E\) 是包含 \(E\) 的最小闭集；边界
边界点的每个开球都同时遇到 \(E\) 和它的补集。
闭集的序列刻画¶
\(F\subset\mathbb R^n\) 闭，当且仅当任意 \(F\) 中收敛序列的极限仍在 \(F\)。
证明。 若 \(F\) 闭而 \(x_k\in F,x_k\to x\)，假设 \(x\notin F\)，则开补集含有 某个 \(B(x,r)\)，最终 \(x_k\in B(x,r)\)，矛盾。反之，若 \(F\) 不闭，补集不是开集， 存在 \(x\notin F\)，使每个 \(B(x,1/k)\) 都遇到 \(F\)。取 \(x_k\in F\cap B(x,1/k)\)，则 \(x_k\to x\notin F\)，违反序列性质。
例题与迁移¶
例 1：连续不等式产生闭集¶
\(\{x:\|x\|_2\le1\}\) 是闭集。若 \(x_k\) 在其中且 \(x_k\to x\)，反向三角不等式 给出 \(\|x_k\|_2\to\|x\|_2\)，故 \(\|x\|_2\le1\)。
例 2：图像的边界¶
上半空间 \(H=\{(x,y):y>0\}\) 是开集，闭包是 \(y\ge0\)，边界是直线 \(y=0\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
空集和整个 \(\mathbb R^n\) 是开还是闭？
答案
两者既开又闭；定义中的全称条件对空集真，补集关系给出闭性。
即时检验 2¶
\(\mathbb Q\subset\mathbb R\) 的内部是什么？
答案
内部为空，因为每个区间都含无理数。
常见误区与后续¶
- 闭集不是“没有边界”，开集也不是“没有边界”。
- 集合可以既开又闭，也可以既不开又不闭。
- “任意交保持开”错误；只有有限交有保证。
习题与答案¶
习题 1¶
证明任意开球是开集。
答案
若 \(x\in B(a,r)\)，取 \(\rho=r-\|x-a\|>0\)，三角不等式给出 \(B(x,\rho)\subset B(a,r)\)。
习题 2¶
求闭球的内部与边界。
答案
内部是对应开球，边界是满足 \(\|x-a\|=r\) 的球面。
习题 3¶
证明有限个开集的交仍开。
答案
对交中一点分别取半径，再取这些有限半径的最小值。
习题 4¶
说明 \(\{(x,y):xy=1\}\) 是闭集。
答案
序列极限保持乘法；若 \(x_ky_k=1\) 且坐标收敛，则 \(xy=1\)。
习题 5¶
求 \(\{(x,0):0<x<1\}\) 在 \(\mathbb R^2\) 中的内部。
答案
内部为空；任意二维开球都含纵坐标非零的点。
习题 6¶
给出既不开也不闭的实数集合。
答案
\([0,1)\)；点 \(0\) 不是内部点，极限点 \(1\) 不在集合中。
习题 7¶
证明闭包等于集合与其全部聚点之并。
答案
闭包中的非集合点每个邻域都遇到集合，因而是聚点；反向由闭集必须包含全部聚点。
习题 8¶
若 \(F_1,F_2\) 闭，证明 \(F_1\cup F_2\) 闭。
答案
补集是两个开补集的有限交，所以开。
小结¶
开球把局部活动空间编码为开集；闭集则精确表达“极限不逃逸”。内部、闭包与边界 把集合分成可在内部移动、可被逼近和必须跨越的三种位置。