全书课程地图¶

教材以“定义—证明—算法证书”两条线并行组织。全书已发布至第十二部第 54 章， 共 255 个学习单元、438 学时。第九部闭合时为 189 个学习单元、337 学时。 第十部第 45 章闭合时为 209 个学习单元、367 学时。 历史发布里程碑包括第 27 章，共 125 个学习单元， 以及第 32 章，共 150 个学习单元。

第一部：实数、函数与分析语言¶

问题弧： 有限符号怎样描述无限与连续？

第 1 章：函数、集合与数学陈述¶

本章学时：6 小时（理论 5，应用 1）。

1. 集合怎样组织数学对象？
2. 量词怎样改变一句话？
3. 什么算作一个有效证明？
4. 函数为何不只是“公式”？

第 2 章：实数系与完备性公理¶

本章学时：5.5 小时（理论 5，应用 0.5）。

1. 有理数为什么仍然不够？
2. 怎样用切割构造一个实数？
3. 构造后怎样计算与比较？

第 3 章：上界、下界与确界原理¶

本章学时：5 小时（理论 5，应用 0）。

1. 有上界为什么还不够？
2. 最小上界怎样保证存在？
3. 确界原理能推出什么？

第 4 章：递推过程与无限逼近¶

本章学时：7.5 小时（理论 5，应用 2.5）。

1. 递推会不会真的“靠近”目标？
2. 区间怎样把目标逐步夹住？
3. “越来越近”怎样说得严格？
4. 无限逼近何时会失败？

第二部：数列极限与无限过程¶

问题弧： 怎样判断一个无限过程最终稳定？

总学时：42 小时（理论 34，应用 8）。

第 5 章：数列极限与量词结构¶

本章学时：10 小时（理论 8，应用 2）。

1. 数列怎样记录无限过程？
2. “最终任意接近”怎样写成定义？
3. 不收敛与趋于无穷怎样区分？
4. 迭代数据何时值得相信？
5. 极限证明怎样从目标误差反推起点？

第 6 章：极限运算与序关系¶

本章学时：8 小时（理论 6.5，应用 1.5）。

1. 极限怎样通过代数运算传递？
2. 序关系怎样给出极限估计？
3. 误差如何穿过一次迭代？
4. 倒数与商法则为何必须远离零？

第 7 章：单调性、完备性与收敛准则¶

本章学时：8 小时（理论 7，应用 1）。

1. 单调数列为什么会有极限？
2. 递推的界与单调性怎样建立？
3. 区间套怎样保证唯一目标？
4. 完备性怎样成为收敛准则？

第 8 章：子列、Cauchy 准则与上/下极限¶

本章学时：16 小时（理论 12.5，应用 3.5）。

1. 子列揭示了原数列的什么行为？
2. 有界数列为何总能抽出收敛子列？
3. Cauchy 条件怎样不预知极限而判断收敛？
4. 严格压缩怎样保证迭代找到唯一不动点？
5. 上/下极限怎样总结所有尾部行为？
6. 不动点计算需要哪些可核验证书？
7. 有限迭代轨迹能说明什么、不能说明什么？
8. 上/下极限怎样由子列真正实现？

第三部：函数极限、连续性与方程¶

问题弧： 近似值能否保证真实解存在？

总学时：40 小时（理论 32，应用 8）。

第 9 章：函数极限与局部行为¶

本章学时：16 小时（理论 13，应用 3）。

1. 函数在一点附近意味着什么？
2. “任意接近”怎样定义函数极限？
3. 局部估计怎样传递极限？
4. 用点列靠近能否判别函数极限？
5. 极限证明怎样从目标误差反推局部范围？
6. 左右极限怎样共同决定双侧极限？
7. 函数怎样在有限点附近趋于无穷？
8. 自变量趋于无穷时怎样定义函数极限？

第 10 章：连续函数与连续运算¶

本章学时：10 小时（理论 8，应用 2）。

1. 连续性怎样把极限与函数值接起来？
2. 连续性怎样经过运算和复合传递？
3. 端点连续与连续延拓怎样统一处理？
4. 函数会以哪些方式失去连续性？
5. 常见初等函数的连续性从哪里来？

第 11 章：闭区间上的整体性质¶

本章学时：6 小时（理论 5，应用 1）。

1. 为什么闭区间中的数列总有收敛子列？
2. 连续函数为何一定有界并取得最值？
3. 局部连续何时升级为全局一致控制？

第 12 章：零点、不动点与迭代求解¶

本章学时：8 小时（理论 6，应用 2）。

1. 连续函数怎样保证取遍中间值？
2. 有固定点是否意味着简单迭代会收敛？
3. 怎样把有根证明变成误差可证的算法？
4. 不同存在与计算证书各自保证什么？

第四部：微分与局部线性化¶

问题弧： 局部变化能告诉我们多少整体信息？

第 13 章：导数、微分与局部线性模型¶

本章学时：7 小时（理论 5.5，应用 1.5）。

1. 平均变化率怎样逼近瞬时变化率？
2. 差商极限何时存在，何时失败？
3. 可导为什么等价于一阶局部线性化？
4. 局部线性模型怎样预测增量、误差与敏感性？

第 14 章：求导法则、反函数与高阶导数¶

本章学时：8 小时（理论 5，应用 3）。

1. 局部线性模型怎样通过和、积、商传递？
2. 复合函数的局部误差怎样层层传递？
3. 反函数的变化率为何是原导数的倒数？
4. 隐式关系与高阶导数怎样记录复杂变化？
5. 怎样为原函数计算准备可靠的求导能力？

第 15 章：微分中值定理¶

本章学时：8.5 小时（理论 6.5，应用 2.0）。

1. 两个端点的信息怎样迫使中间出现特殊切线？
2. 导数符号能推出哪些整体性质？
3. 两个函数的变化率怎样进行严格比较？
4. L’Hôpital 法则何时能判定未定式极限？

第 16 章：Taylor 公式与余项¶

本章学时：7 小时（理论 4.5，应用 2.5）。

1. 高阶局部信息怎样形成 Peano 展开？
2. Lagrange 余项怎样给出可计算误差界？
3. Cauchy 余项揭示了怎样的证明结构？
4. 怎样把 Taylor 多项式变成可信的近似工具？

第 17 章：凸性、优化、函数形态与 Newton 方法¶

本章学时：8 小时（理论 4.5，应用 3.5）。

1. 导数怎样还原函数的增减、极值与弯曲形态？
2. 凸性为何能把局部极小升级为整体极小？
3. Newton 迭代为什么可能快速收敛，也可能失败？
4. 怎样实现具有保护机制和停止证书的 Newton 算法？

第五部：积分、累积与数值求积¶

问题弧： 怎样从局部变化率恢复函数，并把无限细分转化为可验证的累积量？

第 18 章：原函数与积分方法¶

本章学时：8 小时（理论 4.5，应用 3.5）。

1. 导数能否反向恢复原函数？
2. 复合函数的导数怎样反向产生换元法？
3. 乘积法则怎样反向产生分部积分法？
4. 有理函数怎样通过代数分解获得原函数？
5. 怎样选择积分方法并用求导可靠回验？

第 19 章：Riemann 积分与可积性¶

本章学时：7.5 小时（理论 6，应用 1.5）。

1. 怎样用分割和上下和夹住未知总量？
2. Riemann 和何时拥有与取样无关的极限？
3. 哪些函数可积，证明障碍在哪里？
4. 可积函数的代数、序与区间结构怎样传递？

第 20 章：微积分基本定理¶

本章学时：8 小时（理论 5.25，应用 2.75）。

1. 变上限累积函数为什么连续？
2. 局部平均怎样恢复被积函数？
3. 原函数怎样把分割极限化为端点差？
4. 定积分的换元与分部积分怎样合法使用？
5. 定积分综合计算怎样处理端点、对称与错误诊断？

第 21 章：积分的几何与物理模型¶

本章学时：7 小时（理论 4，应用 3）。

1. 面积怎样从局部条带与有向积分产生？
2. 截面怎样重建立体体积？
3. 折线长度怎样逼近光滑图像的弧长？
4. 功、质量与平均值怎样选择局部贡献？
5. 几何与物理综合建模怎样选变量并回验？

第 22 章：反常积分与数值求积¶

本章学时：12 小时（理论 7.25，应用 4.75）。

1. 反常积分怎样由逐端点极限定义？
2. 正函数怎样比较收敛并控制尾部？
3. 绝对、条件与振荡收敛怎样区分？
4. 中点与梯形公式怎样产生可证明误差界？
5. Simpson 方法怎样给出预算与误差证书？
6. 反常积分怎样完成可靠数值计算？

本章沿两条路线推进：反常积分路线用逐端点极限、收敛判别与尾部界控制截断误差； 数值求积路线用局部近似、导数界与预算状态控制有限区间误差。第 22.6 单元用三角 不等式把两类证书合并。至此第五部闭合。

第六部：无穷级数与函数逼近¶

问题弧： 无限叠加何时仍然可控？

第六部蓝图为 42 小时（理论 30.5，应用 11.5）。数项级数与函数项级数分阶段叙述： 第 23–24 章先闭合实数项级数，第 25 章才重新引入函数变量和一致收敛。

第 23 章：数项级数的收敛与正项判别¶

本章学时：8.5 小时（理论 6.5，应用 2）。

1. 无限求和怎样由部分和定义？
2. Cauchy 尾部判据怎样控制无限求和？
3. 正项级数怎样通过比较判断收敛？
4. 局部增长率怎样产生比值与根值判别？
5. 积分与凝聚怎样提供判别和余项证书？

本章从部分和与 Cauchy 尾部出发，建立正项比较、比值、根值、积分与凝聚判别，并在 保留解析不等式时给出可核查的余项证书。

第 24 章：一般项级数、重排与乘积¶

本章学时：9.5 小时（理论 7.5，应用 2）。

1. 绝对收敛为什么能够控制符号变化？
2. 交错与振荡级数怎样利用抵消？
3. 改变求和次序为什么可能改变结果？
4. 两个无穷和什么时候可以相乘？
5. 怎样选择判别法并给出收敛证书？

第 25 章：函数列、函数项级数与一致收敛¶

本章学时：9 小时（理论 7，应用 2）。

1. 逐点收敛为什么不足以控制整体行为？
2. 怎样用统一尾部控制刻画一致收敛？
3. 函数项级数怎样获得一致收敛判别？
4. 极限什么时候可以穿过连续与积分？
5. 微分为什么需要比积分更强的条件？

第 26 章：幂级数与解析表示¶

本章学时：8 小时（理论 6，应用 2）。

1. 系数怎样决定收敛半径？
2. 幂级数为什么在收敛区间内部表现稳定？
3. 为什么幂级数可以逐项积分与微分？
4. Taylor 级数什么时候真的等于原函数？
5. 常用展开怎样形成可靠计算工具？

第 27 章：多项式逼近与误差控制¶

本章学时：7 小时（理论 3.5，应用 3.5）。

1. 函数逼近问题应怎样衡量误差？
2. Bernstein 多项式怎样逼近连续函数？
3. 连续性模怎样给出显式误差界？
4. 怎样可靠构造并评价逼近多项式？

第七部：Euclid 空间、多元微分与优化¶

问题弧： 多变量系统能否用线性与二次对象作可靠的局部近似，并据此求解方程和 极值问题？

第七部共 25 个核心单元、44 学时（理论 33.75，应用 10.25），第 28–32 章已完整发布。

第 28 章：Euclid 空间、极限与连续¶

本章学时：9 小时（理论 7.25，应用 1.75）。

1. 向量、内积、范数和距离怎样描述多维几何？
2. 邻域、开集、闭集、内部与边界怎样组织局部和整体？
3. 向量序列怎样收敛，有限维空间为什么完备？
4. 紧致性为什么等价于闭且有界？
5. 多元极限、连续与连通性怎样给出存在性结论？

第 29 章：多元微分与导数映射¶

本章学时：10 小时（理论 7.75，应用 2.25）。

1. 偏导数和方向导数能否保证函数可微？
2. Fréchet 微分怎样刻画最佳线性近似？
3. 连续偏导为什么足以推出可微？
4. 导数映射怎样满足代数规则和链式法则？
5. Jacobian、梯度与条件数怎样描述敏感性？
6. 怎样计算并可靠核验多元线性化？

第 30 章：高阶微分与多元 Taylor 公式¶

本章学时：7 小时（理论 5.5，应用 1.5）。

1. 二阶微分和 Hessian 为什么是双线性对象？
2. 高阶微分和多重指标怎样组织混合偏导？
3. 多元 Taylor 公式怎样给出可证明的余项？
4. 二次模型怎样支持误差界和敏感性分析？

第 31 章：反函数、隐函数与局部求解¶

本章学时：7 小时（理论 5.25，应用 1.75）。

1. Jacobian 可逆怎样产生局部反函数？
2. 隐式方程什么时候能局部解出变量？
3. 局部参数化怎样给出灵敏度并区分分支？
4. Newton 法怎样可靠求解非线性方程组？

第 32 章：多元极值与约束优化¶

本章学时：11 小时（理论 8，应用 3）。

1. 多元极值什么时候存在，模型定义域怎样影响答案？
2. 无约束极值为什么满足一阶必要条件？
3. Hessian 怎样给出二阶必要与充分条件？
4. Lagrange 乘子怎样处理正则等式约束？
5. 多个约束、几何解释和异常点怎样处理？
6. 梯度法、Newton 法和约束候选怎样可靠核验？

第八部：重积分与空间测量¶

问题弧： 怎样把平面与空间区域分解成局部小块，严格定义高维累积量，并通过 降维与坐标变换可靠计算？

第八部 18 个核心单元、32 学时（理论 24，应用 8）已经完整发布；另有一篇不计入 核心学时的选读附录。

第 33 章：重积分的定义与可积性¶

本章学时：7 小时（理论 6.25，应用 0.75）。

1. 小矩形上的局部贡献怎样累积成二重积分？
2. 连续函数为什么在闭矩形上可积？
3. 线性、序关系与区域可加性怎样成立？
4. 怎样在常用有界区域上定义重积分？

第 34 章：累次积分与计算¶

本章学时：9 小时（理论 6，应用 3）。

1. 矩形上的二重积分为什么可以逐次计算？
2. x-型与 y-型区域怎样写出积分限？
3. 改变积分次序怎样化简区域与被积函数？
4. 三重积分怎样按截面或投影逐层计算？
5. 二维张量积中点法能保证什么、不能保证什么？

第 35 章：重积分的变量代换¶

本章学时：7 小时（理论 6，应用 1）。

1. Jacobian 行列式为什么描述局部面积与体积伸缩？
2. 重积分换元公式需要哪些条件？
3. 极坐标怎样处理圆形与径向对称区域？
4. 柱面、球面坐标怎样处理三维区域？

第 36 章：反常重积分与质量、概率模型¶

本章学时：9 小时（理论 5.75，应用 3.25）。

1. 无界区域上的重积分怎样由极限定义？
2. 被积函数有奇点时怎样判断收敛？
3. 密度怎样产生质量、质心与转动惯量？
4. 联合密度怎样产生边缘密度、期望与协方差？
5. 怎样为空间累积模型选择区域、坐标与核验方法？

选读附录：从 Jordan 区域到测度观点¶

附录约 2 学时，不计入核心学时，也不作为第 33–36 章的前置条件。

第九部：曲线、曲面与向量分析¶

问题弧： 边界上的信息怎样控制区域内部？

第九部共 21 个核心单元、32 学时（理论 24，应用 8）。当前发布第 37–41 章；第九部核心正文已全部发布。

第 37 章：参数曲线与曲线积分¶

本章学时：6 小时（理论 4.5，应用 1.5）。

1. 正则参数曲线怎样描述运动、方向与切向量？（理论 1.50，应用 0.00）
2. 弧长与第一类曲线积分怎样由参数化定义？（理论 1.25，应用 0.25）
3. 第二类曲线积分怎样表示功与环流？（理论 1.00，应用 0.50）
4. 重新参数化、反向与保守场怎样改变积分？（理论 0.75，应用 0.75）

第 38 章：参数曲面与曲面积分¶

本章学时：6 小时（理论 4.5，应用 1.5）。

1. 正则参数曲面怎样产生切平面、法向量与取向？（理论 1.50，应用 0.00）
2. 曲面面积元为什么由叉积的模给出？（理论 1.25，应用 0.25）
3. 第一类曲面积分怎样累积曲面上的标量分布？（理论 1.00，应用 0.50）
4. 通量积分怎样依赖参数化与曲面取向？（理论 0.75，应用 0.75）

第 39 章：Green 公式与平面场¶

本章学时：6 小时（理论 4.5，应用 1.5）。

1. 平面场的散度与旋度怎样描述局部变化？（理论 1.50，应用 0.00）
2. Green 公式怎样从简单区域上的微积分基本定理得到？（理论 1.25，应用 0.25）
3. 分片区域、多连通区域与边界方向怎样处理？（理论 1.00，应用 0.50）
4. Green 公式怎样控制面积、环流、通量与路径无关？（理论 0.75，应用 0.75）

第 40 章：Gauss 公式与通量¶

本章学时：6 小时（理论 4.5，应用 1.5）。

1. 三维散度为什么表示局部源汇密度？（理论 1.50，应用 0.00）
2. Gauss 公式为什么先在长方体上成立？（理论 1.25，应用 0.25）
3. 规则区域的分片与内部通量为什么会抵消？（理论 1.00，应用 0.50）
4. Gauss 公式怎样分析流量、电通量与奇点？（理论 0.75，应用 0.75）

第 41 章：Stokes 公式与三大公式的统一¶

本章学时：8 小时（理论 6，应用 2）。

1. 三维旋度为什么表示局部环流密度？（理论 1.50，应用 0.00）
2. 曲面取向怎样诱导边界曲线的正方向？（理论 1.25，应用 0.25）
3. Stokes 公式怎样在单个参数曲面片上证明？（理论 1.25，应用 0.25）
4. 分片曲面上的内部边界为什么成对抵消？（理论 1.00，应用 0.50）
5. 怎样选择并核验 Green、Gauss 与 Stokes 公式？（理论 1.00，应用 1.00）

选读附录：从向量分析到微分形式¶

附录约 2–3 学时，不计入第九部核心单元、核心学时或核心考核，也不是第十部前置。

第十部：含参变量积分¶

问题弧： 什么时候可以把极限、微分或积分移进积分号？

第十部共 20 个核心单元、30 学时（理论 22，应用 8）；第 42–45 章已完整发布。

第 42 章：正常含参变量积分¶

本章学时：7 小时（理论 5.50，应用 1.50）。

1. 含参积分怎样定义函数，参数与积分变量怎样分工？
2. 被积函数联合连续时，积分为什么连续依赖参数？
3. 一致收敛为什么允许极限进入积分号？
4. 哪些逐点收敛反例说明一致控制不可省略？
5. 怎样为连续性与极限交换建立条件检查表？

第 43 章：积分号下运算¶

本章学时：8 小时（理论 6.00，应用 2.00）。

1. 什么条件允许对含参积分求导？
2. 差商与偏导的一致控制怎样完成 Leibniz 公式证明？
3. 积分端点随参数变化时，边界项从哪里产生？
4. 对参数再积分时，怎样通过经典 Fubini 交换次序？
5. 可固定化的移动区域怎样化为固定区域问题？

第 44 章：含参反常积分的一致收敛¶

本章学时：8 小时（理论 6.00，应用 2.00）。

1. 含参反常积分的一致收敛应怎样定义？
2. 一致 Cauchy 判据怎样把尾部转化为可检查条件？
3. Weierstrass、Dirichlet 与 Abel 型判据怎样控制参数族？
4. 连续性、极限与参数积分何时可同反常积分交换？
5. 积分号下求导何时成立，反例揭示哪些条件缺口？

第 45 章：Gamma、Beta 函数与参数敏感性¶

本章学时：7 小时（理论 4.50，应用 2.50）。

1. Gamma 积分在哪些参数上收敛，递推公式怎样得到？
2. Beta 积分的端点奇性怎样控制？
3. Beta–Gamma 关系怎样由重积分与换元推出？
4. 参数求导怎样产生含对数因子的积分与敏感性公式？
5. 怎样对 Gamma、Beta 积分作带状态的可靠近似？

第十一部：测度与 Lebesgue 积分¶

问题弧： Riemann 积分失效后，“大小”与“总量”应怎样重建？

第 46–50 章规划已锁定：25 个核心单元、38 学时（理论 31，应用 7）；现已完整发布。

第 46 章：从长度问题到测度¶

1. 区间长度应满足哪些基本性质？
2. 可数区间覆盖怎样定义 Lebesgue 外测度？
3. 外测度为何单调并满足可数次可加性？
4. 区间的外测度为何恰好等于区间长度？
5. 可数集为何是零测集，Jordan 理论的边界在哪里？

第 47 章：σ-代数与测度¶

1. 为什么集合运算必须对可数过程封闭？
2. Carathéodory 判据怎样定义可测集合？
3. 可测集合为何构成 σ-代数？
4. 外测度在可测集上为何成为可数可加的测度？
5. Borel 集、零测集及其子集怎样进入 Lebesgue 可测世界？

第 48 章：可测函数与收敛方式¶

1. 可测函数为何可由水平集的可测性刻画？
2. 运算、上确界与逐点极限怎样保持可测性？
3. 非负可测函数怎样由递增简单函数逼近？
4. 逐点、一致与几乎处处收敛怎样区分？
5. 依测度收敛与其他收敛方式有什么关系？

第 49 章：Lebesgue 积分¶

1. 简单函数的积分怎样由水平集测度定义？
2. 非负可测函数的积分怎样由下逼近定义？
3. 积分的单调性、齐次性与可加性怎样证明？
4. 正部、负部怎样定义一般函数的积分？
5. 绝对可积、零测集修改与积分估计怎样统一？

第 50 章：收敛定理与 Riemann 理论比较¶

1. 单调收敛定理怎样闭合递增逼近？
2. Fatou 引理怎样给出下极限不等式？
3. 控制收敛定理为何需要可积控制函数？
4. Riemann 可积函数与 Lebesgue 积分怎样兼容？
5. 序章失败序列怎样被新理论完整解释？

第十二部：Fourier 级数初步¶

问题弧： 复杂的周期现象能否分解为简单振动？

第 51–54 章已完整发布：21 个核心单元、33 学时（理论 24，应用 9），未超过 34 学时硬上限。

第 51 章：正交函数系与最佳逼近¶

1. 周期函数与三角函数系怎样构成正交族？
2. Fourier 系数为什么来自正交投影？
3. 三角多项式怎样给出最佳平方逼近？
4. 复指数形式怎样统一正弦与余弦形式？
5. 有限维投影计算怎样验证最佳逼近？

第 52 章：Fourier 系数与逐点收敛¶

1. Fourier 系数有哪些平移、伸缩与对称性质？
2. 奇偶性和分段积分怎样简化系数计算？
3. 半区间正弦展开与余弦展开怎样选择？
4. Fourier 部分和怎样写成 Dirichlet 核卷积？
5. Dirichlet 判别条件怎样保证逐点收敛？
6. 连续点与跳跃点的展开值应怎样判断？

第 53 章：能量、Parseval 与均方收敛¶

1. Bessel 不等式怎样限制 Fourier 系数的能量？
2. 均方误差为何等于总能量减去投影能量？
3. Parseval 等式在什么条件下成立？
4. Parseval 等式怎样用于经典数项级数求和？
5. 均方收敛与逐点、一致收敛有什么区别？

第 54 章：周期模型、逼近误差与 Gibbs 现象¶

1. 有限 Fourier 部分和怎样重建周期信号？
2. Gibbs 现象为何不会因增加项数而消失？
3. Fejér 平均为何比普通部分和更稳定？
4. 截断阶数、误差指标与采样分辨率怎样选择？
5. 一个周期模型怎样完成“建模—展开—误差—解释”闭环？

后续路线¶

第七部与第八部已完成核心内容、算法与出版质量闭合；第九部已完成核心内容与选读附录的出版闭合。 第十至十二部继续覆盖的路线中，第十部含参积分已经闭合；第十一部第 46–50 章已经闭合； 第十二部 Fourier 级数已经完整发布；全书不再规划后续部或后续章节。