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端点连续与连续延拓怎样统一处理？

先备知识

第 9 章已经定义左右极限并证明双侧极限存在当且仅当两侧极限存在且相等。上一单元 把连续性定义为极限与点值相接。本单元把两条线结合起来：在区间内点比较左右两侧， 在端点只沿定义域允许的方向靠近。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 准确定义左连续、右连续和区间端点连续；
  2. 用左右连续判别区间内点的连续性；
  3. 证明并使用连续延拓定理；
  4. 判断某个缺失点或端点能否靠赋值修复。

牵引问题

\(\sqrt{x}\) 的定义域是 \([0,\infty)\)。在 \(0\) 的左边没有函数值，为什么我们 仍说它在 \(0\) 连续？另一方面，若一个函数只定义在 \(0<x\le1\)，什么时候可以 补上 \(x=0\) 的值，使补后的函数连续？

探索与猜想

连续性永远相对于定义域。闭区间左端点只允许从右侧靠近，右端点只允许从左侧靠近。 对缺失点 \(a\)，能否补值只取决于去心极限是否存在且有限：若存在，候选点值被 唯一确定；若不存在，改一个点不会改变附近的失败行为。

概念与理论

定义：单侧连续与区间端点连续

设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(a\in D\)。

  • 若 \(\lim_{x\to a+,\ x\in D}f(x)=f(a)\)，称 \(f\) 在 \(a\)右连续；
  • 若 \(\lim_{x\to a-,\ x\in D}f(x)=f(a)\)，称 \(f\) 在 \(a\)左连续。

等价地，右连续要求：对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使 [ x\in D,\quad a\le x<a+\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon. ] 左连续使用 \(a-\delta<x\le a\)。

函数在闭区间 \([a,b]\) 上连续，是指它在每个内点 \(c\in(a,b)\) 连续，在左端点 \(a\) 右连续，在右端点 \(b\) 左连续。这与“相对于定义域 \([a,b]\) 在每一点连续” 完全一致。

定理：内点的左右连续判别

设 \(a\) 是定义域的双侧聚点且 \(a\in D\)。函数 \(f\) 在 \(a\) 连续，当且仅当 它在 \(a\) 左连续并且右连续。

证明。 若 \(f\) 在 \(a\) 连续，则双侧极限等于 \(f(a)\)，第 9 章的单侧 极限结论给出左右极限也都等于 \(f(a)\)。

反之，若左右连续，则 [ \lim_{x\to a-}f(x)=f(a)=\lim_{x\to a+}f(x). ] 由双侧极限判别，\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)，所以 \(f\) 在 \(a\) 连续。 \(\square\)

双侧聚点条件确保两种单侧行为都有内容；在定义域端点，应直接使用相对连续或相应 单侧连续，而不是强行要求另一侧。

定理：连续延拓

设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(a\notin D\) 是 \(D\) 的聚点。存在定义在 \(D\cup\{a\}\) 上、与 \(f\) 在 \(D\) 上相同且在 \(a\) 连续的函数 \(\widetilde f\)，当且仅当有限极限 [ \lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x)=L\in\mathbb R ] 存在。若延拓存在，它唯一地满足 \(\widetilde f(a)=L\)。

证明。

充分性。 若有限极限为 \(L\)，定义 [ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D,\ L,&x=a. \end{cases} ] 给定 \(\varepsilon>0\)，由原极限取得 \(\delta>0\)，控制所有 \(x\in D\) 且 \(0<|x-a|<\delta\) 的点。对扩充定义域中的 \(x=a\)，输出误差 为零；对其余允许点，原极限估计给出 \(|\widetilde f(x)-\widetilde f(a)|=|f(x)-L|<\varepsilon\)。故 \(\widetilde f\) 在 \(a\) 连续。

必要性。 若某个 \(\widetilde f\) 在 \(a\) 连续且在 \(D\) 上等于 \(f\)，则 [ \lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x) =\lim_{\substack{x\to a\x\in D}}\widetilde f(x) =\widetilde f(a), ] 所以有限极限存在。若有两个连续延拓，它们在 \(a\) 的值都必须等于这个唯一极限， 故点值相同。\(\square\)

对于半开区间端点，把双侧极限换成定义域允许的单侧有限极限，同一证明逐字成立。

推论：改值修复的判据

若函数已在 \(a\) 定义但不连续，只有当去心有限极限存在时，才可能只修改 \(f(a)\) 使其连续；新值必须等于该极限。

证明。 暂时删除 \(a\) 的原值并应用连续延拓定理。修改单个点不改变去心极限， 所以极限不存在时任何新点值都无效；极限存在时唯一可行值就是极限。\(\square\)

例题与迁移

例题 1：闭区间端点的相对连续

证明 \(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \([0,\infty)\) 的端点 \(0\) 右连续。

证明。 \(f(0)=0\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。若 \(x\in[0,\infty)\) 且 \(0\le x<\delta\)，则 [ |\sqrt{x}-\sqrt0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon. ] 所以 \(\lim_{x\to0+}\sqrt{x}=0=f(0)\)。左侧没有定义域点，不是需要补做的条件。 \(\square\)

例题 2：有孔分式的唯一延拓

在 \(D=\mathbb R\setminus\{2\}\) 上定义 [ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. ] 求它在 \(2\) 的连续延拓。

解。 对 \(x\in D\)，有 \(f(x)=x+2\)，所以 [ \lim_{x\to2}f(x)=4. ] 连续延拓定理要求且只允许定义 \(\widetilde f(2)=4\)。补值后函数实际上在全体实数 上等于 \(x+2\)。

即时检验与回望

即时检验 1：端点为什么只看一侧？

答案

连续性的量词只覆盖定义域中的点。在 \([a,b]\) 的左端点 \(a\)，充分小的相对 邻域只含 \(x\ge a\) 的定义域点，因此相对连续正好等价于右连续；另一侧没有 函数值，不能加入条件。

即时检验 2：为什么改一个点不能消除振荡？

答案

去心极限完全忽略中心点的值。振荡发生在任意小去心邻域内，修改 \(f(a)\) 不会 改变这些邻近点的函数值，因此也不会使去心极限出现。

习题与答案

习题 1：分段函数的连接条件

设 [ f(x)= \begin{cases} x^2,&x\le1,\ mx+1,&x>1. \end{cases} ] 求使 \(f\) 在 \(1\) 连续的 \(m\)。

答案

左侧极限和点值都是 \(1\)。右侧极限为 \(m+1\)。连续要求 \(m+1=1\)，故 \(m=0\)。此时左右极限都等于 \(f(1)=1\)。

习题 2：端点补值

在 \((0,1]\) 上定义 \(f(x)=x\sin(1/x)\)。证明可把它连续延拓到 \(0\)。

答案

因为 [ |x\sin(1/x)|\le x\qquad(0<x\le1), ] 而 \(x\to0+\) 时 \(x\to0\)，夹逼定理给出右极限为 \(0\)。定义 \(\widetilde f(0)=0\)，由端点版连续延拓定理，补后的函数在 \(0\) 右连续。

习题 3：跳跃不能补值

函数 \(f(x)=-1\)（\(x<0\)）、\(f(x)=1\)（\(x>0\)）能否在 \(0\) 补一个值形成 连续函数？

答案

不能。左极限为 \(-1\)，右极限为 \(1\)，两者不相等，所以双侧极限不存在。 连续延拓定理的必要条件失败，任何中心点值都不能改变左右极限。

习题 4：无穷行为不能有限延拓

能否给 \(f(x)=1/x^2\) 在 \(0\) 补一个实数值使其连续？

答案

不能。\(x\to0\) 时 \(1/x^2\to+\infty\)，不存在有限实数极限。连续点的函数值 必须是实数，并等于有限极限，所以不存在实值连续延拓。

习题 5：唯一性

设 \(a\notin D\) 是聚点，两个函数 \(F,G:D\cup\{a\}\to\mathbb R\) 都在 \(a\) 连续且在 \(D\) 上等于同一个 \(f\)。证明 \(F(a)=G(a)\)。

答案

由连续性， [ F(a)=\lim_{\substack{x\to a\x\in D}}F(x) =\lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x), ] 同理 [ G(a)=\lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x). ] 函数极限唯一，所以 \(F(a)=G(a)\)。

常见误区与后续

  • 闭区间端点的连续性是相对定义域的连续性，不要求函数越过端点仍有定义。
  • 只有有限极限才能作为实值连续延拓的点值。
  • “可约去的代数因子”只是寻找极限的工具；真正的延拓还必须明确补上点值。
  • 修改单个点不会改变任何去心极限。

下一单元将用有限极限、单侧极限与无穷行为建立间断类型的诊断流程。