不同存在与计算证书各自保证什么？¶

先备知识¶

介值定理、二分法，以及第二部压缩映射定理。

学习目标¶

根据已验证假设，只作证书允许的声称，并选择与问题目标相匹配的方法。

牵引问题¶

“有解”“返回近似解”“迭代收敛到唯一解”看似相近，为什么是三份不同合同？

探索与猜想¶

定理的强弱不由名称决定，而由输入假设和输出保证共同决定。更强结论通常需要更强、 更难核验的条件。

概念与理论¶

三类证书比较¶

定理：证书边界¶

由一组假设只能推出相应定理明确列出的结论。介值条件不能推出唯一性；二分区间不能 推出区间中只有一根；连续自映射不能推出简单迭代收敛；压缩证书中的 \(q\) 必须由 调用者证明，不能由有限轨迹猜测。

证明。 \(x^2-1\) 展示介值存在但可多根；包含多个奇重根的异号区间展示二分 仍不唯一；\(g(x)=1-x\) 展示连续自映射且不动点唯一但迭代振荡。第二部压缩定理则 明确把唯一、收敛和误差建立在 \(q<1\) 上。\(\square\)

例题与迁移¶

例题1：只有存在证书¶

若只知连续 \(f\) 两端异号，可以声称至少有根；在未执行二分前不能给出指定精度的 数值，也不能声称根唯一。

例题2：压缩给出更强结论¶

\(g(x)=1/(2+x)\) 在 \([0,1]\) 的自映射与压缩常数已在第二部验证，因此不仅有 不动点，而且不动点唯一，迭代收敛并带几何误差界。

即时检验与回望¶

检验1：二分区间很窄能否证明根唯一？¶

检验2：轨迹连续变小能否替代压缩证明？¶

习题与答案¶

习题1¶

只需证明方程有解时优先寻找什么？

习题2¶

需要可核验绝对误差时，二分法提供什么？

习题3¶

连续自映射能否推出唯一？

习题4¶

压缩证书为何强于单纯存在？

习题5¶

小残差属于哪一种无条件证书？

常见误区与后续¶

先写假设清单，再写允许声称；不要把存在、唯一、收敛、速度和误差压成一句“算法 有效”。第三部至此闭合，后续方法必须在新的理论边界内另行建立。