数列怎样记录无限过程？¶

先备知识¶

本书约定

\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]

它是正整数集，不含 \(0\)。函数由定义域、值域以及每个输入对应的输出共同确定。数学归纳法可以证明递推规则生成的每一项都具有某种性质。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

把实数列准确写成定义在 \(\mathbb N\) 上、取值于 \(\mathbb R\) 的函数；
区分有限数据与无限规则，说明有限前缀为何不能决定整个数列；
区分显式定义与递推定义，并在简单情形中互相转换；
用尾部和“最终”语言陈述从某个指标以后恒成立的性质。

牵引问题¶

纸上写出 \(1,1/3,3/7,7/17\)，究竟是给出了四个数据，还是给出了一个无限对象？若没有说明后续项的规则，二者无法区分。同样的四项之后可以接 \(0,0,0,\ldots\)，也可以继续某个递推过程。

本章贯穿的递推例子是

\[ x_1=1,\qquad x_{n+1}=\frac1{2+x_n}\quad(n\in\mathbb N). \]

它每一步只依赖前一步，却规定了无限多项。我们将逐步学习：怎样读它、怎样猜测它的长期行为，以及怎样证明这种猜测。

探索与猜想¶

由递推式可算出

\[ x_1=1,\quad x_2=\frac13,\quad x_3=\frac37, \quad x_4=\frac7{17},\quad x_5=\frac{17}{41}. \]

这些数似乎在 \(0.4\) 附近摆动。但这张有限表只提供猜想：即使再算一百万项，也仍未规定或检查尚未计算的所有项。无限对象必须由一个对每个正整数都适用的规则来给出；长期结论则必须控制某个指标以后的所有项。

概念与理论¶

数列¶

一个实数列是函数

\[ a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R. \]

把函数值 \(a(n)\) 记为 \(a_n\)，把整个函数记为 \((a_n)_{n\ge1}\) 或简称 \((a_n)\)。指标 \(n\) 是正整数，不能任意代入 \(1/2\) 或 \(-3\)。数列的“顺序”来自定义域中 \(1,2,3,\ldots\) 的顺序。

列出 \(a_1,\ldots,a_k\) 只给出一个有限前缀。数列本身还要求每个 \(n\in\mathbb N\) 的 \(a_n\) 都被唯一确定。

显式定义与递推定义¶

显式定义直接由指标求项，例如

\[ a_n=2n-1. \]

给定 \(n\) 就可直接算 \(a_n\)。递推定义给出初值和由已有项产生新项的规则，例如

\[ b_1=1,\qquad b_{n+1}=b_n+2. \]

二者都能定义无限数列；递推式若没有足够的初值，就不能唯一决定数列。上面两个规则实际上给出同一数列，因为可用归纳法证明 \(b_n=2n-1\)。

有限前缀不决定尾部¶

对任意给定的有限数据 \(c_1,\ldots,c_k\)，至少可以构造两个数列拥有这个前缀却在以后不同。例如令

\[ a_n=\begin{cases}c_n,&n\le k,\\0,&n>k, \end{cases} \qquad b_n=\begin{cases}c_n,&n\le k,\\1,&n>k. \end{cases} \]

于是 \(a_1=b_1,\ldots,a_k=b_k\)，但 \(a_{k+1}\ne b_{k+1}\)。这说明从有限项“猜公式”可以帮助发现模式，却不能逻辑上确定唯一答案。

尾部与最终性质¶

给定 \(N\in\mathbb N\)，数列从第 \(N\) 项开始的部分

\[ a_N,a_{N+1},a_{N+2},\ldots \]

称为第 \(N\) 个尾部。若存在 \(N\)，使每个 \(n\ge N\) 都满足性质 \(P(n)\)，就说 \(P(n)\) 最终成立：

\[ \exists N\in\mathbb N\;\forall n\ge N,\quad P(n). \]

最终性质允许有限多个早期例外，但不允许任意靠后的反例。例如 \(a_n=1/n<0.01\) 最终成立，而“\((-1)^n>0\) 最终成立”不成立，因为无论从哪里开始，后面仍有负项。

例题与迁移¶

例：辨认无限规则¶

比较三种写法：

\(2,4,6,8\)；
\(a_n=2n\)（\(n\in\mathbb N\)）；
\(b_1=2, b_{n+1}=b_n+2\)（\(n\in\mathbb N\)）。

第一种只给出四个数，除非另有约定，否则不是一个完整数列定义。第二种是显式定义，第三种是递推定义。对第三种归纳：\(b_1=2=2\cdot1\)；若 \(b_n=2n\)，则 \(b_{n+1}=2n+2=2(n+1)\)。所以 2 与 3 定义同一个数列。

例：读取迭代的尾部命题¶

对 \(x_1=1, x_{n+1}=1/(2+x_n)\)，若已知 \(x_n>0\)，则 \(2+x_n>2\)，从而

\[ 0<x_{n+1}<\frac12. \]

初值 \(x_1>0\)，归纳可知所有项为正；并且对每个 \(n\ge2\) 都有 \(0<x_n<1/2\)。因此“\(0<x_n<1/2\)”是从 \(N=2\) 开始的最终性质。这里只证明了一个尾部范围，并没有证明数列收敛。

即时检验与回望¶

“\(1,4,9,16\)”是否唯一确定一个无限数列？

答案

不能。它只是有限前缀。例如一个数列可从第五项起恒为 \(0\)，另一个可由 \(a_n=n^2\) 继续；二者前四项相同，尾部不同。

把“从某项起 \(a_n\le3\)”写成量词形式。

答案

\[ \exists N\in\mathbb N\;\forall n\ge N,\qquad a_n\le3. \]

其中 \(N\) 以前可以有有限多个大于 \(3\) 的项。

回看牵引问题：无限数列由覆盖全部正整数指标的规则确定，有限表只能展示它的前缀。下一单元将把“尾部最终进入任意小误差范围”写成数列极限的定义。

习题与答案¶

习题 1：判断是否定义数列¶

判断下列信息是否唯一确定实数列，并说明理由：\((a)\) \(a_1=1,a_2=2\)；\((b)\) \(a_n=(-1)^n/n\)；\((c)\) \(a_1=1, a_{n+1}=a_n+1\)。

答案

\((a)\) 只给出有限前缀，不能确定 \(a_3,a_4,\ldots\)，所以不能。\((b)\) 对每个正整数 \(n\) 直接给出唯一实数，是显式定义。\((c)\) 给出初值和每一步的唯一递推规则，因而依次唯一确定所有项。

习题 2：显式式改写为递推式¶

把 \(a_n=5-3n\) 改写为只依赖前一项的递推定义。

答案

\(a_1=2\)，且

\[ a_{n+1}=5-3(n+1)=(5-3n)-3=a_n-3. \]

所以可写为 \(a_1=2, a_{n+1}=a_n-3\)。

习题 3：递推式改写为显式式¶

设 \(b_1=4, b_{n+1}=2b_n\)。猜出显式公式并用归纳法证明。

答案

公式为 \(b_n=2^{n+1}\)。当 \(n=1\) 时 \(b_1=4=2^2\)。若 \(b_n=2^{n+1}\)，则 \(b_{n+1}=2b_n=2^{n+2}\)，正是指标 \(n+1\) 对应的公式。归纳得证。

习题 4：最终性质¶

设 \(a_n=(10-n)/n\)。证明 \(a_n<0\) 最终成立，并给出一个门槛 \(N\)。

答案

因为 \(n>0\)，\(a_n<0\) 等价于 \(10-n<0\)，即 \(n>10\)。取 \(N=11\)；对每个 \(n\ge11\) 都有 \(a_n<0\)。早期项不满足并不影响“最终成立”。

习题 5：迭代的范围¶

设 \(x_1=2, x_{n+1}=1/(2+x_n)\)。证明对所有 \(n\ge2\) 有 \(0<x_n<1/2\)，并说明这个结论没有证明什么。

答案

\(x_1=2>0\)。若 \(x_n>0\)，则 \(2+x_n>2\)，故 \(0<x_{n+1}<1/2\)。归纳得到所有项为正，并从第二项起小于 \(1/2\)。它只证明尾部落在固定区间 \((0,1/2)\)，没有证明项会最终进入某个点的任意小邻域，因此还没有证明收敛。

常见误区与后续¶

把省略号当规则： “\(1,2,3,\ldots\)”只有在模式已被明确约定时才足够；严谨定义应给出公式或递推规则。
忘记递推初值： 单有 \(a_{n+1}=2a_n\) 会得到许多不同数列。
把有限观察当长期结论： 检查若干项不能保证整个尾部。
把最终成立理解为处处成立： 最终性质允许门槛以前有有限多个例外。

下一单元将把尾部、任意误差和门槛组合成 \(\varepsilon\)--\(N\) 定义；更细的“从原数列抽取指标”的理论留到第 8 章。