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可导为什么等价于一阶局部线性化？

先备知识

你需要掌握差商极限、有限极限运算和一点连续性。还需要能够区分“某个量趋于零”和 “它相对于另一个量可以忽略”：后者是一种更强的比例关系。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 把函数增量分解成线性主部与余项；
  2. 准确定义 \(r(h)=o(h)\)；
  3. 逐向证明差商可导与一阶局部线性化等价；
  4. 不借助后续工具证明可导蕴含连续；
  5. 判断一个候选余项是否真的比 \(h\) 高阶。

牵引问题

知道 \(f'(a)\) 是一个极限还不够。若输入从 \(a\) 改变到 \(a+h\)，我们真正想预测 的是输出增量

\[ \Delta f=f(a+h)-f(a). \]

用 \(f'(a)h\) 近似这个增量时，被忽略的误差必须满足什么条件，才能说明直线模型在局部 确实抓住了主要变化？

探索与猜想

对 \(f(x)=x^2\)，有精确恒等式

\[ f(a+h)-f(a)=2ah+h^2. \]

当 \(h\to0\) 时，\(h^2\to0\)；更重要的是

\[ \frac{h^2}{h}=h\to0. \]

因此余项不仅自身趋于零，而且相对于线性尺度 \(h\) 也趋于零。相反，\(|h|\to0\)， 但

\[ \frac{|h|}{h}= \begin{cases} 1,&h>0,\\ -1,&h<0 \end{cases} \]

不趋于零，所以 \(|h|\) 不能被当成“比 \(h\) 更小”的一阶余项。

概念与理论

定义：相对于 \(h\) 的高阶小量

若函数 \(r\) 在 \(0\) 附近定义，并满足

\[ \lim_{h\to0}\frac{r(h)}h=0, \]

就记作

\[ r(h)=o(h)\qquad(h\to0). \]

因为目标极限是零，这个定义也等价于

\[ \frac{|r(h)|}{|h|}\to0. \]

所以 \(o(h)\) 是一个比例条件。只知道 \(r(h)\to0\) 不够，例如 \(r(h)=|h|\)。

定义：一阶局部线性化

若存在实数 \(A\)，使

\[ f(a+h)=f(a)+Ah+r(h),\qquad r(h)=o(h), \]

就称 \(f\) 在 \(a\) 处具有一阶局部线性化。映射

\[ h\longmapsto Ah \]

是输入增量到输出主增量的线性模型，\(r(h)\) 是模型余项。

定理：差商与局部线性化等价

设 \(f\) 定义在包含 \(a\) 的一个开区间上。对实数 \(A\)，以下两件事等价：

  1. \(f\) 在 \(a\) 处可导且 \(f'(a)=A\)；
  2. 存在 \(r(h)=o(h)\)，使

[ f(a+h)=f(a)+Ah+r(h). ]

证明障碍。 定义一边是商的极限，另一边是增量分解。证明的关键是决定余项应当怎样 从差商中提取，以及怎样从余项恢复差商。

由可导推出线性化。 假设

\[ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=A. \]

对 \(h\ne0\)，定义

\[ r(h)=f(a+h)-f(a)-Ah, \]

并补充定义 \(r(0)=0\)。于是

\[ \frac{r(h)}h =\frac{f(a+h)-f(a)}h-A\to0. \]

所以 \(r(h)=o(h)\)，且所需分解成立。

由线性化推出可导。 反过来，若

\[ f(a+h)-f(a)=Ah+r(h),\qquad \frac{r(h)}h\to0, \]

则对 \(h\ne0\)，

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}h =A+\frac{r(h)}h\to A. \]

因此差商极限存在，且 \(f'(a)=A\)。两方向均得证。\(\square\)

线性系数也必唯一。若同一增量既写成 \(Ah+r_A(h)\)，又写成 \(Bh+r_B(h)\)，其中 \(r_A(h)=o(h)\)、\(r_B(h)=o(h)\)，则

\[ (A-B)h=r_B(h)-r_A(h). \]

对非零 \(h\) 除以 \(h\)，再令 \(h\to0\)，右侧趋于零，所以 \(A-B=0\)。

定理：可导蕴含连续

若 \(f\) 在 \(a\) 处可导，则 \(f\) 在 \(a\) 处连续。

证明路线。 使用刚刚建立的增量分解，不需要任何区间整体定理。

证明。 设 \(A=f'(a)\)。由线性化等价定理，

\[ f(a+h)-f(a)=Ah+r(h),\qquad r(h)=o(h). \]

因为 \(Ah\to0\)，而

\[ r(h)=h\frac{r(h)}h\to0\cdot0=0, \]

所以

\[ f(a+h)-f(a)\to0. \]

也就是 \(f(a+h)\to f(a)\)，故 \(f\) 在 \(a\) 连续。\(\square\)

逆命题不成立。上一单元的 \(f(x)=|x|\) 在 \(0\) 连续，却没有共同的左右线性系数。

例题与迁移

例题1：平方函数的主部与精确余项

由恒等式

\[ (a+h)^2=a^2+2ah+h^2 \]

可见线性系数为 \(2a\)，余项为 \(r(h)=h^2\)。因为

\[ \frac{r(h)}h=h\to0, \]

所以

\[ (a+h)^2=a^2+2ah+o(h). \]

这比只写 \(f'(a)=2a\) 多给出了一层结构：\(2ah\) 是一阶主变化，\(h^2\) 是相对 于 \(h\) 可忽略的误差。

例题2：平方根的局部线性化

设 \(a>0\)，\(f(x)=\sqrt{x}\)。对充分小的 \(h\)，\(a+h>0\)，且

\[ \sqrt{a+h}-\sqrt a =\frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}. \]

取

\[ A=\frac1{2\sqrt a}. \]

则

\[ \sqrt{a+h}-\sqrt a-Ah =h\left( \frac1{\sqrt{a+h}+\sqrt a}-\frac1{2\sqrt a} \right). \]

括号中的量在 \(h\to0\) 时趋于零，所以右侧是 \(o(h)\)。因此

\[ \sqrt{a+h} =\sqrt a+\frac{h}{2\sqrt a}+o(h). \]

条件 \(a>0\) 保证函数在 \(a\) 的双侧邻域内有定义，也保证线性系数有限。

即时检验与回望

检验1：趋于零是否足够？

\(r(h)=|h|\) 是否满足 \(r(h)=o(h)\)？

答案

不满足。虽然 \(|h|\to0\)，但

\[ \frac{|h|}{h} \]

的左右极限分别为 \(1\) 和 \(-1\)，更不趋于零。余项必须相对于 \(h\) 可忽略。

检验2：一个合格余项

\(r(h)=|h|^{3/2}\) 是否满足 \(r(h)=o(h)\)？

答案

满足，因为

\[ \frac{|r(h)|}{|h|}=|h|^{1/2}\to0. \]

使用绝对值比直接处理正负 \(h\) 更清楚。

习题与答案

习题1：线性系数唯一

完整证明：若

\[ f(a+h)=f(a)+Ah+o(h)=f(a)+Bh+o(h), \]

则 \(A=B\)。

答案

分别把两个余项记为 \(r_A(h)\)、\(r_B(h)\)。相减得

\[ (A-B)h=r_B(h)-r_A(h). \]

对 \(h\ne0\) 除以 \(h\)，右侧趋于 \(0-0=0\)，故 \(A-B=0\)，即 \(A=B\)。

习题2：立方函数的局部展开

写出 \(f(x)=x^3\) 在 \(a\) 处的一阶线性化，并验证余项条件。

答案
\[ (a+h)^3=a^3+3a^2h+(3ah^2+h^3). \]

余项除以 \(h\) 后为 \(3ah+h^2\to0\)，所以

\[ (a+h)^3=a^3+3a^2h+o(h). \]

习题3：绝对值为何不能线性化

证明不存在实数 \(A\) 使 \(|h|=Ah+o(h)\)。

答案

若存在，除以 \(h\ne0\) 得

\[ \frac{|h|}{h}=A+o(1). \]

右侧应趋于 \(A\)，但左侧的左右极限分别为 \(1\) 和 \(-1\)，矛盾。

习题4：从分解证明连续

若 \(f(a+h)=f(a)-4h+|h|^{3/2}\)，直接证明 \(f\) 在 \(a\) 连续。

答案

当 \(h\to0\) 时，\(-4h\to0\)，且 \(|h|^{3/2}\to0\)，所以 \(f(a+h)-f(a)\to0\)。因此 \(f(a+h)\to f(a)\)，函数在 \(a\) 连续。

习题5：可导但余项含振荡

设

\[ f(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

只用线性化判定 \(f\) 在 \(0\) 是否可导。

答案

取线性系数 \(A=0\)，余项 \(r(h)=h^2\sin(1/h)\)。由

\[ \left|\frac{r(h)}h\right| =|h\sin(1/h)|\le|h|\to0, \]

得 \(r(h)=o(h)\)。所以 \(f\) 在 \(0\) 可导且 \(f'(0)=0\)。余项本身可以 振荡，关键是它相对于 \(h\) 的比例趋于零。

常见误区与后续

  • 把 \(r(h)\to0\) 当成 \(r(h)=o(h)\)。 后者还要求余项与 \(|h|\) 的比趋于 零。
  • 先假定切线再定义导数。 严格路线是先建立差商极限，再证明它等价于唯一线性主部。
  • 循环证明连续性。 本单元直接由增量分解证明可导蕴含连续，不使用后续的中值定理。
  • 给出没有条件的误差阶。 目前只能保证余项为 \(o(h)\)；Taylor 公式将在额外条件下 提供更具体的高阶余项。

下一单元将把线性主部用于近似、测量误差与敏感性，同时继续保留 \(o(h)\) 所允许和不 允许声称的边界。