积分与凝聚怎样提供判别和余项证书？¶

先备知识¶

第 19 章已建立正常 Riemann 积分及保序性，第 22 章已处理非负函数反常积分。这里把单调函数图像下的矩形与积分比较。所有条件都必须从某个指标起最终成立：函数非负、单调递减，并满足 \(a_n=f(n)\)。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

证明并使用积分判别；
推导收敛正项级数余项的积分上下界；
证明 Cauchy 凝聚判别；
分类 \(p\)-级数和对数修正级数；
从尾界反解截断预算；
区分程序检查与调用者必须证明的数学条件。

牵引问题¶

比值与根值判别在 \(1/n^p\) 上都落到临界值 \(1\)。这些项变化缓慢，却来自简单单调函数 \(x^{-p}\)。能否用面积比较无限多个矩形？若每一倍区间合成一个块，又能否放大发散信号？

探索与猜想¶

若 \(f\) 非负且递减，在整数区间 \([n,n+1]\) 上有

\[ f(n+1)\le f(x)\le f(n). \]

积分后得到一个积分夹在相邻两项之间。把这些有限不等式相加，再取极限，就能同时得到敛散判别和余项大小。

概念与理论¶

积分判别¶

定理。 设 \(f:[N_0,\infty)\to[0,\infty)\) 在每个有限闭区间上 Riemann 可积，并且单调递减。令 \(a_n=f(n)\)。则

\[ \sum_{n=N_0}^{\infty}a_n \quad\text{与}\quad \int_{N_0}^{\infty}f(x)\,dx \]

同时收敛或同时发散。

证明。 对整数 \(n\ge N_0\)，单调性给出

\[ f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n). \]

从 \(n=N_0\) 到 \(M\) 相加：

\[ \sum_{n=N_0+1}^{M+1}f(n) \le\int_{N_0}^{M+1}f(x)\,dx \le\sum_{n=N_0}^{M}f(n). \]

两侧只差有限首尾项。用正项级数部分和的单调有界刻画与反常积分定义，即得同敛散。证毕。

“最终非负、单调递减”不是装饰。若函数在整数点间剧烈尖峰，积分与取样值可能完全不同；若有符号抵消，也不能用正项的序比较。

积分余项的上下界¶

若上述级数收敛，则对整数 \(m\ge N_0\)，

\[ \int_{m+1}^{\infty}f(x)\,dx \le \sum_{n=m+1}^{\infty}f(n) \le \int_m^{\infty}f(x)\,dx. \]

这就是尾项上下界：左侧是尾项下界，右侧是尾项上界。给定容差 \(\varepsilon\)，只需反解

\[ \int_m^\infty f(x)\,dx\le\varepsilon \]

即可得到严格截断预算。

Cauchy 凝聚判别¶

定理。 若 \(a_n\ge0\) 单调递减，则

\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{与}\quad \sum_{j=0}^{\infty}2^j a_{2^j} \]

同敛散。

证明。 把原级数按

\[ [2^j,2^{j+1}-1] \]

分块。该块有 \(2^j\) 项，单调性给出

\[ 2^j a_{2^{j+1}} \le \sum_{n=2^j}^{2^{j+1}-1}a_n \le 2^j a_{2^j}. \]

对有限个块相加。上界说明凝聚级数收敛时原级数收敛；下界经指标平移说明原级数收敛时凝聚级数收敛。证毕。

凝聚把缓慢变化的项按块放大，特别适合含对数的边界族。

例题与迁移¶

例 1：\(p\)-级数¶

考虑

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}. \]

函数 \(f(x)=x^{-p}\) 对 \(p>0\) 非负递减。第 22 章已知

\[ \int_1^\infty x^{-p}\,dx \]

当且仅当 \(p>1\) 收敛，所以

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \quad\text{收敛当且仅当}\quad p>1. \]

当 \(p>1\) 时，

\[ \frac{(m+1)^{1-p}}{p-1} \le R_m \le\frac{m^{1-p}}{p-1}. \]

例 2：对数修正族¶

对

\[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\log n)^q}, \]

积分代换 \(u=\log x\) 得

\[ \int_2^\infty\frac{dx}{x(\log x)^q} =\int_{\log2}^{\infty}u^{-q}\,du. \]

因此级数当且仅当 \(q>1\) 收敛。也可凝聚：

\[ 2^j a_{2^j} =\frac1{(j\log2)^q}, \]

转化为 \(p\)-级数。

例 3：带条件的截断证书¶

问题来源。 近似 \(\sum1/n^2\)，并把总误差控制在 \(10^{-2}\) 内。

数学转化。 积分尾界给

\[ R_m\le\int_m^\infty x^{-2}\,dx=\frac1m. \]

所以 \(m=100\) 足够。

算法思想。 先由已证明的尾界反解项数，再有限求和；若允许项数不足，就返回 budget_unmet，保留实际证明界。

误差与适用条件。 调用者已经证明 \(p>1\)，且 \(x^{-p}\) 在所需区间非负、单调递减。程序能检查 \(p\)、容差和预算是有限合法数值，却不能替调用者证明任意比较模型。

伪代码。

验证 p > 1、tolerance > 0、max_terms > 0
由 m^(1-p)/(p-1) <= tolerance 反解所需 m
实际项数 = min(所需 m, max_terms)
计算有限部分和与积分尾界
若尾界达到容差，状态为 certified；否则为 budget_unmet

Python。

from mathbook_examples.series import p_series_integral_certificate

result = p_series_integral_certificate(
    exponent=2.0,
    tolerance=0.01,
    max_terms=1_000,
)
print(result.approximation, result.error_bound, result.status)

结果解释。 error_bound 是积分判别推出的解析界，不是相邻截断值之差。 certified 只在输入模型满足正文条件时具有数学证书意义。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么积分判别不能直接用于 \(f(x)=2+\sin(2\pi x)\) 的整数取样？

答案

函数不单调递减。整数点取值恒为 \(2\)，但连续区间内的形态不能用递减矩形夹住。

即时检验 2¶

要使 \(\sum_{n=m+1}^{\infty}1/n^3\le10^{-4}\)，积分上界给出怎样的 \(m\)？

答案

上界为 \(\int_m^\infty x^{-3}dx=1/(2m^2)\)。要求 \(m\ge\sqrt{5000}\)，所以取 \(m=71\)。

即时检验 3¶

凝聚后的级数收敛，为什么原级数也收敛？

答案

每个二进块的和不超过 \(2^j a_{2^j}\)。有限块和受凝聚级数部分和统一控制。

习题与答案¶

习题 1¶

用积分判别分类 \(\sum1/n^{3/2}\)。

答案

\(p=3/2>1\)，故收敛。

习题 2¶

用积分判别证明调和级数发散。

答案

\(f(x)=1/x\) 非负递减，而 \(\int_1^\infty dx/x=\infty\)，故级数发散。

习题 3¶

写出 \(\sum_{n=m+1}^\infty1/n^2\) 的积分上下界。

答案

\(\frac1{m+1}\le R_m\le\frac1m\)。

习题 4¶

要把 \(\sum1/n^2\) 的尾项控制到 \(10^{-3}\)，积分上界给出多少项？

答案

需 \(1/m\le10^{-3}\)，取 \(m=1000\)。

习题 5¶

用凝聚判定 \(\sum1/[n(\log n)^2]\)。

答案

凝聚项与 \(1/j^2\) 相差常数因子，故收敛。

习题 6¶

用凝聚判定 \(\sum1/[n\log n]\)。

答案

凝聚项与 \(1/j\) 相差常数因子，故发散。

习题 7¶

解释凝聚判别中单调性承担什么责任。

答案

它把同一二进块中的每一项夹在块首与下一块首之间，从而用一个代表值控制整块。

习题 8¶

若函数只从 \(x\ge10\) 起非负递减，积分判别还能使用吗？

答案

能。删去前九项不改变敛散性，从 \(10\) 起应用判别。

习题 9¶

程序返回 budget_unmet 且误差界为 \(0.02\)，目标是 \(0.01\)。能否把近似称为错误？

答案

不能。近似可能很准，但现有证明只保证误差不超过 \(0.02\)，所以未达到目标证书。

习题 10¶

比较“网格观察误差 \(0.001\)”和“解析尾界 \(0.01\)”的逻辑强度。

答案

前者只比较有限次观察，不能控制未知真值；后者在条件成立时控制全部未求项，是严格证书，尽管数值可能更保守。

常见误区与后续¶

忘记验证函数最终非负、单调递减和局部可积。
只写积分与级数“形状相似”，不建立矩形不等式。
把尾项下界错当上界用于容差保证。
把程序接受参数误解为程序已经证明参数对应的数学假设。

第 23 章到此闭合正项级数判别和余项证书。第 24 章才处理符号抵消、绝对与条件收敛、重排和乘积；本单元的正项序结构不能直接替代那些理论。