简单函数的积分怎样由水平集测度定义？¶
先备知识¶
会把简单函数写成有限个可测水平集的指标函数之和，并会使用测度的有限可加性。
学习目标¶
把“高度乘底面积”推广到非负简单函数，并证明结果表示无关。
牵引问题¶
同一个阶梯函数可以拆成不同分块，积分为何不能依赖写法？
探索与猜想¶
先把两种分块切成交集形成共同加细，再在每个小块上比较高度。
概念与理论¶
定义¶
若 φ=∑{k=1}^m a_k 1，其中 a_k≥0、E_k 两两不交且可测，定义
约定 0·∞=0。标准表示可取互异非零值的水平集。
表示无关性¶
若另有 φ=∑j b_j1，用 E_k∩F_j 作共同加细。在每个非空交集上 a_k=b_j； 分别对 E_k 和 F_j 使用有限可加性，两边都等于 ∑_{k,j}a_km(E_k∩F_j)，故积分与表示无关。
有限计算的边界¶
应用模块中的 simple_integral 只执行有限和；可测、互不相交等前提仍由数学证明承担。
例题与迁移¶
例 1：两层函数¶
在 [0,1] 上令 φ=2·1_[0,1/2]+3·1_(1/2,1]，则积分为 5/2。
例 2：改写分块¶
把后半区间再切两块，有限可加性保证总和不变；数值程序只是复核算术。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
为什么要求分块两两不交？
答案
这样每点高度唯一，积分可直接按水平层求和；一般表示可先加细。
即时检验 2¶
代码输出能证明集合可测吗？
答案
不能，代码只计算已获证明的有限数据。
常见误区与后续¶
- 表示无关性不是定义的一部分，必须由共同加细证明。
- 本节只积分非负简单函数。
习题与答案¶
习题 1¶
写出指标函数积分。
答案
\(\int1_Edm=m(E)\)。
习题 2¶
共同加细的原子是什么？
答案
所有 \(E_k\cap F_j\)。
习题 3¶
为何交集可测？
答案
可测集类对有限交封闭。
习题 4¶
哪里使用有限可加性？
答案
把每个原分块的测度拆成加细原子的测度和。
习题 5¶
零系数为何可删？
答案
其贡献按约定为零。
习题 6¶
无限测度分块允许吗？
答案
允许，正高度会给出无穷积分。
习题 7¶
积分可能取哪些值？
答案
\([0,+\infty]\)。
习题 8¶
标准表示按什么分层？
答案
按函数互异的非零值之水平集。
习题 9¶
有限求和是否逼近误差？
答案
对给定简单函数没有；对原函数的逼近误差是另一问题。
习题 10¶
本节下一步怎样升级对象？
答案
对所有下方非负简单函数的积分取上确界。