倒数与商法则为何必须远离零？¶

先备知识¶

已知常数、和差、数乘与乘积法则，也知道极限之间有正间隔时，数列最终保持相应严格次序。本单元处理倒数；新困难是分母可能接近零，使很小的输入误差被任意放大。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

证明非零极限使数列尾部与零保持统一距离；
从 \(\varepsilon\)--\(N\) 定义完整证明倒数法则；
用乘积法则推出商法则并核对全部条件；
用反例解释分母极限为零时为何不能进行未定式代数。

牵引问题¶

若 \(b_n\to b\ne0\)，要证明 \(1/b_n\to1/b\)，自然会写

\[ \left|\frac1{b_n}-\frac1b\right| =\frac{|b_n-b|}{|b_n|\,|b|}. \]

分子已经趋于零，但除非先给 \(|b_n|\) 一个正下界，右端仍无法由固定倍数控制。

探索与猜想¶

极限 \(b\ne0\) 与零之间有正距离 \(|b|\)。若把 \(b_n\) 的误差压到 \(|b|/2\) 内，反三角不等式给出

\[ |b_n|\ge |b|-|b_n-b|>\frac{|b|}{2}. \]

这一步同时保证尾部各项非零，并把倒数误差化为原误差的固定倍数。

概念与理论¶

引理：非零极限使尾部远离零¶

引理。 若 \(b_n\to b\) 且 \(b\ne0\)，则存在 \(N_0\)，使每个 \(n\ge N_0\) 都有

\[ |b_n|>\frac{|b|}{2}>0. \]

证明。 因为 \(|b|/2>0\)，由收敛定义可取 \(N_0\)，使 \(n\ge N_0\) 时 \(|b_n-b|<|b|/2\)。于是

\[ |b_n|\ge |b|-|b_n-b|>\frac{|b|}{2}. \]

故尾部不仅非零，而且与零保持统一正距离。\(\square\)

有限多个早期项是否为零不影响极限结论；但若要把 \(1/b_n\) 定义为完整数列，仍须另外假定每个相关指标处 \(b_n\ne0\)，或只从尾部门槛之后讨论。

定理：倒数法则¶

定理。 若 \(b_n\to b\ne0\)，且 \(1/b_n\) 在充分大指标处有定义，则

\[ \frac1{b_n}\to\frac1b. \]

证明。 由上引理取 \(N_0\)，使 \(n\ge N_0\) 时 \(|b_n|>|b|/2\)。任给 \(\varepsilon>0\)，由 \(b_n\to b\) 取 \(N_1\)，使

\[ n\ge N_1\Rightarrow |b_n-b|<\frac{\varepsilon |b|^2}{2}. \]

取 \(N=\max\{N_0,N_1\}\)。若 \(n\ge N\)，则

\[ \left|\frac1{b_n}-\frac1b\right| =\frac{|b_n-b|}{|b_n|\,|b|} <\frac{2}{|b|^2}|b_n-b|<\varepsilon. \]

故结论成立。\(\square\)

定理：商法则¶

定理。 若 \(a_n\to a\)、\(b_n\to b\ne0\)，且 \(a_n/b_n\) 在充分大指标处有定义，则

\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac ab. \]

证明。 倒数法则给出 \(1/b_n\to1/b\)。由乘积法则，

\[ \frac{a_n}{b_n}=a_n\frac1{b_n}\to a\frac1b=\frac ab. \]

\(\square\)

条件审计。 \(a_n\to a\) 控制分子，\(b_n\to b\) 控制分母误差，而 \(b\ne0\) 产生正下界。不能只检查前几项分母非零，也不能只说“每个 \(b_n\ne0\)”：后者仍不保证分母不会无限接近零。

零极限与未定式边界¶

当 \(b_n\to0\) 时，倒数法则与商法则均不适用。“\(0/0\) 未定式”表示仅由分子、分母都趋于零无法确定比值极限，并不表示 \(0/0\) 是一个可参与运算的数。取 \(b_n=1/n\)：

\[ \frac{1/n}{1/n}=1,\qquad \frac{1/n^2}{1/n}=\frac1n\to0,\qquad \frac{1}{1/n}=n\to+\infty. \]

相同的分母零极限可产生不同结果。必须对具体表达式重新化简、估计或使用后续理论，不能约去“极限符号里的零”。

例题与迁移¶

例 1：有理式的条件逐项核对¶

因为 \(1/n\to0\)，线性法则给出 \(3+1/n\to3\)、\(2-1/n\to2\)。分母极限 \(2\ne0\)，故

\[ \frac{3+1/n}{2-1/n}\to\frac32. \]

论证顺序是先确定两部分极限，再核对分母极限非零，最后应用结论。

例 2：每项非零仍不足够¶

数列 \(b_n=1/n\) 的每一项都非零，但 \(1/b_n=n\) 不趋于有限实数。问题不是某一项恰好等于零，而是 \(|b_n|\) 没有统一正下界。倒数法则要求的是极限 \(b\ne0\)，它能自动提供所需下界。

即时检验与回望¶

若 \(b_n\to-4\)，可以保证充分大时 \(|b_n|\) 大于哪个简单常数？

答案

应用远离零引理，可保证充分大时 \(|b_n|>|-4|/2=2\)。同时 \(b_n<0\) 最终成立，但倒数估计只需绝对值下界。

“每个 \(b_n\ne0\)”能否替代商法则中的 \(b\ne0\)？

答案

不能。\(b_n=1/n\) 每项非零却趋于零，倒数 \(n\) 无有限极限。需要的是尾部统一远离零，而 \(b\ne0\) 与收敛共同保证这一点。

习题与答案¶

习题 1：写出远离零的门槛¶

若 \(b_n\to5\)，证明 \(b_n>4\) 最终成立，并说明这是否足以保证倒数有定义。

答案

在极限定义中取 \(\varepsilon=1\)，存在 \(N\)，使 \(n\ge N\) 时 \(|b_n-5|<1\)，所以 \(b_n>4>0\)。因此从该门槛起 \(b_n\ne0\)，倒数在尾部有定义；早期项是否为零需单独检查，但不影响尾部极限命题。

习题 2：重建倒数证明¶

设 \(b_n\to-2\)。直接给出使 \(|1/b_n+1/2|<\varepsilon\) 成立的误差条件。

答案

先取 \(N_0\)，使 \(|b_n|>1\) 最终成立。此后

\[ \left|\frac1{b_n}+\frac12\right| =\frac{|b_n+2|}{2|b_n|}<\frac12|b_n+2|. \]

再由 \(b_n\to-2\) 取 \(N_1\)，使 \(|b_n+2|<2\varepsilon\)。对不小于两门槛最大值的 \(n\)，目标误差小于 \(\varepsilon\)。

习题 3：有理式极限¶

计算 \(\dfrac{2-3/n}{-1+1/n^2}\) 的极限，并逐条写出使用条件。

答案

由 \(1/n\to0\) 与乘积法则，\(1/n^2\to0\)。线性法则给出分子趋于 \(2\)、分母趋于 \(-1\)。因为分母极限 \(-1\ne0\)，可用商法则，所得极限为 \(2/(-1)=-2\)。

习题 4：同为零比零却结果不同¶

各举一例，使 \(a_n\to0,b_n\to0,b_n\ne0\)，而 \(a_n/b_n\) 分别趋于 \(0\)、趋于 \(3\)、无界。

答案

统一取 \(b_n=1/n\)。取 \(a_n=1/n^2\) 时比值为 \(1/n\to0\)；取 \(a_n=3/n\) 时比值恒为 \(3\)；取 \(a_n=1/\sqrt n\) 时比值为 \(\sqrt n\)，无界。故“\(0/0\)”本身不决定结果。

习题 5：发现非法约分¶

评议推理：“\(a_n\to0,b_n\to0\)，所以 \(a_n/b_n\to0/0=1\)。”

答案

\(0/0\) 没有定义，商法则又要求分母极限非零，因此第一步就不合法。即使每个 \(b_n\ne0\)，比值也可能有不同极限或没有有限极限。只有获得表达式的额外结构后，才能化简或估计具体比值。

常见误区与后续¶

只检查分母每项非零。 极限证明需要统一正下界；非零项仍可能无限接近零。
把未定式当作一个数值。 “未定”是在提醒现有信息不足，不是一条计算规则。
省略尾部定义问题。 远离零引理只保证充分大指标处非零；若需完整定义数列，还要处理有限个早期指标。
在证明倒数法则时循环引用自身。 正确路线是先用反三角不等式建立分母下界，再直接做 \(\varepsilon\) 估计。下一单元将转向不等式怎样把极限信息传给夹在中间的数列。