多元 Taylor 公式怎样给出可证明的余项？¶

先备知识¶

掌握一元 Taylor 定理、链式法则、高阶微分与多重指标。

学习目标¶

1. 证明多元 Taylor 公式；2. 区分 Peano 余项与 Lagrange 余项；
2. 在使用公式前检查整条线段与导数条件。

牵引问题¶

多元函数有无数条靠近基点的路径。为什么只研究一条参数线段就能得到对给定增量 \(h\) 的完整展开？

探索与猜想¶

固定 \(a,h\)，定义

链式法则反复给出 \(g^{(j)}(t)=D^jf(a+th)[h,\ldots,h]\)。 因此对每个固定增量，多元问题变成区间 \([0,1]\) 上的一元 Taylor 问题。

概念与理论¶

使用前的定义域检查¶

必须先确认线段

线段完全位于定义域。定义域开并不保证任意两点间的线段都在其中；凸邻域或显式 线段包含条件才够。若线段穿过空洞，\(g(t)\) 甚至未在整个区间定义。

Peano 型公式¶

若 \(f\) 在 \(a\) 附近 \(k\) 次 Fréchet 可微并满足相应的局部正则条件，则

这里 \(D^0f(a)=f(a)\)。Peano 余项是 \(h\to0\) 时的渐近陈述，不自动给定某个 有限 \(h\) 的数值上界。

Lagrange 余项¶

若 \(f\) 在包含该线段的开集上具有所需导数，且一元 Taylor 定理的条件成立， 则对某个 \(\theta\in(0,1)\)，实值情形有

因此若整条线段上 \(\|D^{k+1}f(x)\|\le M\)，便得到

向量值函数可逐分量使用标量余项或用积分余项给统一范数界；不能随意声称所有分量 共享同一个未知 \(\theta\)。

多重指标形式¶

对充分光滑的实值函数，

组合系数已吸收到 \(\alpha!\) 中。

例题与迁移¶

例 1：指数函数¶

对 \(f(x,y)=e^{x+y}\)、\(a=0\)，二阶多项式为

若 \(|x|+|y|\le r\)，三阶导数沿线段可由 \(e^r\) 控制，从而余项绝对值不超过 \(e^r(|x|+|y|)^3/6\)。

例 2：定义域有洞¶

\(f(x,y)=1/(x^2+y^2)\) 定义在 \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\)。 从 \((-1,0)\) 到 \((1,0)\) 的端点都在定义域，但线段经过原点，不能沿该线段应用公式。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么开定义域不足以保证 \([a,a+h]\) 在定义域内？

即时检验 2¶

\(o(\|h\|^2)\) 是否给出指定 \(h\) 上的显式误差数字？

常见误区与后续¶

• 先检查定义域线段，再定义 \(g(t)=f(a+th)\)。
• Peano 余项适合局部阶数判断；显式证书需要导数上界等额外信息。
• 有限阶 Taylor 多项式通常只是局部模型，不等于原函数。

习题与答案¶

习题 1¶

证明 \(g'(t)=Df(a+th)h\)。

习题 2¶

写出二阶 Taylor 多项式的坐标无关形式。

习题 3¶

写出二维二阶多重指标形式。

习题 4¶

若 \(\|D^3f\|\le M\)，二阶余项怎样控制？

习题 5¶

Peano 余项 \(o(\|h\|^2)\) 的量词含义是什么？

习题 6¶

为什么向量值 Lagrange 余项不能通常使用一个公共 \(\theta\)？

习题 7¶

求 \(f(x,y)=x^2+xy\) 在原点的二阶 Taylor 展开。

习题 8¶

给出端点在定义域而线段不全在定义域的例子。

习题 9¶

若只知道 \(f\) 在 \(a\) 二次可微，能否声称沿长线段有三阶 Lagrange 界？

习题 10¶

为何沿线段证明没有忽略其他路径？