半区间正弦展开与余弦展开怎样选择？¶

先备知识¶

掌握奇偶函数的 Fourier 系数计算。

学习目标¶

对 \((0,L)\) 上函数分别构造奇延拓和偶延拓，并完成解析展开。

牵引问题¶

同一个半区间函数为何可以有两种不同的 Fourier 展开？

探索与猜想¶

区间外的延拓方式不同，但二者在原半区间内部都可逼近同一函数。

概念与理论¶

奇延拓产生半区间正弦系数

\[ b_n=\frac2L\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx; \]

偶延拓产生半区间余弦系数

\[ a_n=\frac2L\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx. \]

其中 \(a_n\) 必须连同 \(a_0\) 的常数项约定一起核对。取 \(f(x)=x\) 于 \((0,\pi)\)，奇延拓是锯齿波，最终展开式为

\[ x\sim2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin nx. \]

偶延拓为 \(|x|\)，分段积分给 \(a_0=\pi\)， \(a_n=2(((-1)^n-1)/(\pi n^2))\)，故最终展开式

\[ |x|\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k\ge0}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}. \]

三角波可由平移、缩放后的 \(|x|\) 得到；其系数按 \(1/n^2\) 衰减。逐点收敛值在内部连续点等于 \(x\)，端点则由所选周期延拓的左右极限决定。

障碍¶

“正弦或余弦”不是随意删项，而是先选择奇延拓或偶延拓。

证明路线¶

明确延拓，再把完整对称区间积分化为两倍半区间积分。

逐步证明¶

奇延拓乘正弦为偶函数，偶延拓乘余弦为偶函数；另一族乘积为奇函数而积分为零。

假设用在何处¶

半区间可积性保证延拓可积；端点结论依赖后续逐点定理。

失败边界¶

两种展开在区间外代表不同周期函数，端点极限也可能不同。

例题与迁移¶

例 1：\(f(x)=x\) 的正弦展开¶

分部积分得到 \(b_n=2(-1)^{n+1}/n\)。

例 2：\(|x|\) 与三角波¶

偶延拓只含余弦项，奇次系数为 \(-4/(\pi n^2)\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

正弦展开对应哪种延拓？

答案

奇延拓。

即时检验 2¶

余弦展开对应哪种延拓？

答案

偶延拓。

常见误区与后续¶

必须先写出延拓，再讨论周期端点。
\(|x|\) 和锯齿波虽在 \((0,\pi)\) 相同，周期延拓不同。

习题与答案¶

习题 1¶

写出正弦系数公式。

答案

\(b_n=(2/L)\int_0^L f(x)\sin(n\pi x/L)\,dx\)。

习题 2¶

写出余弦系数公式。

答案

\(a_n=(2/L)\int_0^L f(x)\cos(n\pi x/L)\,dx\)。

习题 3¶

奇延拓在 0 处自然目标值是什么？

答案

左右极限半和 0。

习题 4¶

偶延拓在 0 处是否跳跃？

答案

若 \(f(0+)\) 有限，则左右极限相同。

习题 5¶

\(|x|\) 的 \(a_0\) 是多少？

答案

\(\pi\)。

习题 6¶

\(|x|\) 的偶次余弦系数是多少？

答案

0。

习题 7¶

三角波系数为何比锯齿波衰减快？

答案

三角波连续而导数分段跳跃，分部积分多提供一个 \(1/n\)。

习题 8¶

两种展开在 \((0,L)\) 内能否都成立？

答案

在相应收敛条件下可以。

习题 9¶

端点值由原半区间赋值单独决定吗？

答案

不，由周期延拓的左右极限决定。

习题 10¶

半区间展开的第一步是什么？

答案

明确选择并写出奇延拓或偶延拓。