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变上限累积函数为什么连续？

先备知识

设 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上 Riemann 可积。第 19 章已经证明：

  • Riemann 可积函数必有界；
  • 积分对区间可加；
  • \(\int_x^x f=0\)，且交换端点会改变符号；
  • 若 \(|f(t)|\le M\)，则

[ \left|\int_x^y f(t)\,dt\right|\le M|y-x|. ]

本单元只使用这些定义层性质，不要求 \(f\) 连续，也不需要先求出积分的具体值。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 定义固定基点的变上限累积函数；
  2. 用区间可加性比较两个累积值；
  3. 从被积函数的统一界推出 Lipschitz 估计；
  4. 说明为什么不连续的可积函数也能产生连续累积；
  5. 比较不同基点产生的累积函数；
  6. 正确处理反向端点。

牵引问题

把上限从 \(x\) 移到附近的 \(y\)，累积量只增加区间 \([x,y]\) 上的贡献。如果每单位 长度的贡献都不超过 \(M\)，新增总量是否就不超过 \(M|y-x|\)？

关键不是 \(f(x)\) 与 \(f(y)\) 是否接近，而是整段新增贡献能否被区间长度控制。

探索与猜想

固定 \(c\in[a,b]\)。先不计算

\[ \int_c^x f(t)\,dt, \]

只比较两个上限：

\[ \int_c^y f-\int_c^x f. \]

区间可加性会消去共同的 \([c,x]\) 部分，只留下 \([x,y]\)。这提示累积函数的连续性 来自“新增区间很短”，而不是来自被积函数在端点附近变化很小。

概念与理论

变上限累积函数

定义。 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，固定基点 \(c\in[a,b]\)。定义

\[ A_c(x)=\int_c^x f(t)\,dt,\qquad x\in[a,b]. \]

这里沿用有向端点约定：

\[ \int_c^x f=-\int_x^c f\quad(x<c),\qquad \int_c^c f=0. \]

因此同一个公式覆盖基点左、右两侧，不需要分成两个定义。

两个累积值的差

对任意 \(x,y\in[a,b]\)，区间可加性给出

\[ \int_c^y f =\int_c^x f+\int_x^y f. \]

移项即得

\[ A_c(y)-A_c(x)=\int_x^y f(t)\,dt. \]

这个等式对 \(x<y\)、\(x=y\) 和 \(x>y\) 都成立。端点方向已经包含在积分记号中。

累积函数的 Lipschitz 连续性

定理。 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且

\[ |f(t)|\le M\qquad(t\in[a,b]), \]

则对任意 \(x,y\in[a,b]\)，

\[ |A_c(y)-A_c(x)|\le M|y-x|. \]

因此 \(A_c\) 在 \([a,b]\) 上 Lipschitz 连续，特别地，它一致连续。

证明。 由上一节与积分绝对值估计，

\[ \begin{aligned} |A_c(y)-A_c(x)| &=\left|\int_x^y f(t)\,dt\right|\\ &\le M|y-x|. \end{aligned} \]

给定 \(\varepsilon>0\)。若 \(M>0\)，取

\[ \delta=\frac{\varepsilon}{M}; \]

当 \(|y-x|<\delta\) 时便有

\[ |A_c(y)-A_c(x)|<\varepsilon. \]

若 \(M=0\)，则 \(f\equiv0\)，累积函数为常数，结论同样成立。这里的 \(\delta\) 与 \(x,y\) 的位置无关，所以得到一致连续。证毕。

关于常数 \(M\)

\(M\) 只需是 \(|f|\) 的一个统一上界，不必是实际取得的最大值。Riemann 可积保证 存在某个有限上界，但一般不保证 \(|f|\) 在每一点都连续。

改变基点只改变常数

推论。 若 \(c,d\in[a,b]\)，则

\[ A_c(x)-A_d(x)=\int_c^d f(t)\,dt. \]

右侧与 \(x\) 无关，因此不同基点产生的累积函数只相差一个常数。

证明。 由

\[ \int_d^x f=\int_d^c f+\int_c^x f \]

可得

\[ A_c(x)-A_d(x) =-\int_d^c f =\int_c^d f. \]

证毕。

这个结论与第 18 章“同一导数的原函数相差常数”外形相似，但当前尚未声称 \(A_c'=f\)。这里只使用区间可加性。

例题与迁移

例 1：阶跃被积函数仍产生连续累积

在 \([-1,1]\) 上定义

\[ f(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ 1,&t\ge0. \end{cases} \]

取基点 \(c=0\)。由常值函数的积分和区间可加性，

\[ A_0(x)=\int_0^x f(t)\,dt = \begin{cases} 0,&-1\le x\le0,\\ x,&0\le x\le1. \end{cases} \]

\(f\) 在 \(0\) 处跳跃，但 \(A_0\) 在 \(0\) 处连续。事实上 \(|f|\le1\)，所以定理 直接给出

\[ |A_0(y)-A_0(x)|\le|y-x|. \]

这说明“被积函数连续”不是累积函数连续的必要条件。

例 2：不求积分也能控制累积变化

在 \([0,1]\) 上定义

\[ f(t)= \begin{cases} t\sin(1/t),&t>0,\\ 0,&t=0. \end{cases} \]

因为 \(|f(t)|\le t\le1\)，且 \(f\) 连续，所以它 Riemann 可积。即使不求 \(\int_0^x f\) 的表达式，也立刻得到

\[ \left|\int_0^y f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt\right| \le|y-x|. \]

若只比较靠近 \(0\) 的点，还可使用更细的局部界：当 \(0\le x<y\le r\) 时，

\[ \left|\int_x^y f(t)\,dt\right|\le r(y-x). \]

即时检验与回望

即时检验 1

已知 \(|f(t)|\le7\) 于 \([-2,3]\)，令 \(A(x)=\int_{-2}^x f(t)\,dt\)。给出一个 Lipschitz 常数，并估计 \(|A(1.01)-A(1)|\)。

答案

可取 Lipschitz 常数 \(7\)。因此

\[ |A(1.01)-A(1)|\le7(0.01)=0.07. \]

不需要知道两个积分各自的值。

即时检验 2

设

\[ A_0(x)=\int_0^x f(t)\,dt,\qquad A_1(x)=\int_1^x f(t)\,dt. \]

不计算两个函数，写出 \(A_0-A_1\)。

答案

由改变基点推论，

\[ A_0(x)-A_1(x)=\int_0^1 f(t)\,dt, \]

它与 \(x\) 无关。

习题与答案

练习 1：常值贡献

在 \([-1,2]\) 上令 \(f(t)=3\)，\(A(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)。从常值函数的 Riemann 和计算 \(A(x)\)，并验证 Lipschitz 估计。

答案

任一分割上的取样和都是

\[ 3(x-0)=3x, \]

所以 \(A(x)=3x\)。于是

\[ |A(y)-A(x)|=3|y-x|, \]

与 \(M=3\) 的估计完全一致。

练习 2：反向端点

设 \(|f|\le2\) 于 \([0,4]\)，\(A(x)=\int_3^x f\)。估计 \(|A(1)|\)。

答案

因为 \(A(3)=0\)，

\[ |A(1)|=|A(1)-A(3)| \le2|1-3|=4. \]

反向端点只改变积分符号，不改变绝对值估计。

练习 3：不同基点

设 \(A_c(x)=\int_c^x f\)。证明对任意三个基点 \(c,d,e\)，

\[ (A_c-A_d)+(A_d-A_e)=A_c-A_e. \]
答案

各差分别等于

\[ \int_c^d f,\qquad\int_d^e f,\qquad\int_c^e f. \]

等式就是区间可加性

\[ \int_c^d f+\int_d^e f=\int_c^e f. \]

练习 4：两级阶跃

在 \([-1,1]\) 上令

\[ f(t)= \begin{cases} -1,&t<0,\\ 2,&t\ge0. \end{cases} \]

取 \(A(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)。写出 \(A\)，并检查它在 \(0\) 处是否连续。

答案

当 \(x<0\) 时，

\[ A(x)=-\int_x^0(-1)\,dt=x. \]

当 \(x\ge0\) 时，\(A(x)=2x\)。两侧在 \(0\) 都趋于 \(0=A(0)\)，所以 \(A\) 连续。被积函数的跳跃没有破坏累积函数的连续性。

练习 5：选择统一上界

设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上可积，且 \(|f(t)|\le2+t\)。给出累积函数

\[ A(x)=\int_0^x f(t)\,dt \]

的一个全局 Lipschitz 常数，并估计 \(|A(0.8)-A(0.75)|\)。

答案

在 \([0,1]\) 上 \(2+t\le3\)，故可取 \(M=3\)。于是

\[ |A(0.8)-A(0.75)| \le3(0.05)=0.15. \]

\(3\) 不必是最小 Lipschitz 常数；它是一个可靠上界。

练习 6：错误论证诊断

有人说：“要证明 \(A(x)=\int_a^x f\) 连续，必须先证明 \(f\) 连续，因为积分保留 连续性。”指出这句话的首个逻辑错误，并给出正确条件。

答案

首个错误是把被积函数连续误当作累积函数连续的必要条件。正确条件更弱： \(f\) Riemann 可积即可，因为它有界。取 \(|f|\le M\)，便有

\[ |A(y)-A(x)|\le M|y-x|. \]

阶跃函数提供了不连续但仍产生连续累积的直接反例。

常见误区与后续

  1. 把 \(M\) 写成必然取得的最大值。 当前只需要一个有限统一上界。
  2. 只证明 \(x<y\)。 有向端点约定使同一差值公式覆盖所有顺序。
  3. 把被积函数连续当成必要条件。 Riemann 可积已经足够推出累积函数连续。
  4. 看到不同基点就重新计算。 改变基点只增加一个与 \(x\) 无关的常数。
  5. 提前声称 \(A_c'=f\)。 连续性不等于可导性。下一单元将研究局部平均在什么 条件下恢复被积函数。