分片曲面上的内部边界为什么成对抵消？¶

先备知识¶

掌握单参数片 Stokes 公式、诱导边界方向及有限分片 Green 公式。

学习目标¶

能在有限片类上逐片应用 Stokes，核验共享接缝的相反方向，并诚实处理奇点。

牵引问题¶

曲面需要多张参数片覆盖时，每张片多出来的边界为何不污染最终答案？

探索与猜想¶

相邻片在共享接缝上从各自“曲面在左”规则行进，方向应恰好相反。

概念与理论¶

有限兼容分片 Stokes 公式¶

设分片光滑曲面 \(S\) 是有限个内部互不重叠的正则参数片 \(S_1,\ldots,S_m\) 的并；每片 满足上一页假设，取向在接缝两侧兼容，每条内部接缝恰由两片共享，外边界分片光滑。 若 \(F\) 在 \(S\) 的邻域为 \(C^1\)，则

证明障碍¶

逐片公式会产生所有片的边界线积分，其中包含最终外边界，也包含人为切出的接缝。

证明路线¶

对有限个兼容正则参数片分别用单片公式后求和，并按几何边界分类。

逐步证明¶

共享接缝 \(C\) 的两侧都要求各自曲面在左，因此两片沿 \(C\) 的诱导方向是相反方向；同一 线积分一正一负，成对抵消。有限求和后所有内部边界抵消，只有外边界保留；曲面通量 则按内部互不重叠的片相加，得到结论。

假设位置¶

有限个保证求和无需额外收敛理论；兼容取向保证接缝反向；正则参数片保证单片定理 可用；场在整个曲面邻域为 \(C^1\) 排除未处理奇点。

边界¶

这一定理只宣称已定义的有限兼容片类。接缝若有未成对边、三片异常汇合或取向不兼容， 须重新分解。若曲面或场有奇点，应挖去其邻域，把新增边界计入后再单独取极限。

取向检查¶

在每条共享接缝画两支切向箭头；它们必须相反，否则不是兼容拼接。

迁移¶

最后一页用该定理与 Green、Gauss 一起建立公式选择流程。

例题与迁移¶

例 1：两块半圆盘¶

把上向圆盘沿直径分成两片。上半片沿直径从左到右，下半片沿直径从右到左，接缝积分 相消，圆周外边界保留。

例 2：两片折面¶

两张兼容定向平面片沿一条棱拼接。即使法向不同，只要整体取向兼容，共享棱仍由两片 以相反方向走过；Stokes 求和不要求曲面在棱上有唯一切平面。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

内部接缝为何不是最终边界？

即时检验 2¶

场在接缝上一点有奇点时能否直接求和？

常见误区与后续¶

• “分片光滑”不是省略有限性、兼容性与接缝结构的口令。
• 内部边界抵消是方向相反造成的，不是因为每条接缝积分为零。

习题与答案¶

习题 1¶

两片共享接缝的积分和是多少？

习题 2¶

若两片接缝方向相同，说明什么？

习题 3¶

为什么强调有限个片？

习题 4¶

最终留下哪些曲线？

习题 5¶

折面棱上必须有唯一法向吗？

习题 6¶

接缝自身积分是否必须为零？

习题 7¶

有奇点时第一步是什么？

习题 8¶

三片异常共享同一接缝能否直接套本定理？

习题 9¶

闭曲面没有边界时 Stokes 左侧为何值？

习题 10¶

本页是否证明任意非光滑曲面的公式？