Beta–Gamma 关系怎样由重积分与换元推出？¶

先备知识¶

熟悉非负截断积分、经典 Fubini、二重积分换元与极坐标 Jacobian。

学习目标¶

能在有限截断上逐步换元，并由单调扩域得到特殊函数关系。

牵引问题¶

两个一维 Gamma 积分的乘积怎样显现 Beta 积分？

探索与猜想¶

平方根极坐标把指数核合并为径向项，角向比例则产生 Beta 核。

概念与理论¶

第一象限二重积分¶

对 \(p,q>0\)，先在有限矩形上使用经典 Fubini，再让矩形单调扩张：

\[ \Gamma(p)\Gamma(q) =\int_0^\infty\int_0^\infty x^{p-1}y^{q-1}e^{-(x+y)}\,dx\,dy. \]

令 \(x=r^2\cos^2\theta,\ y=r^2\sin^2\theta\)，其中 \(r>0\)、\(0<\theta<\pi/2\)。其 Jacobian 绝对值为 \(4r^3\sin\theta\cos\theta\)。

变量分离¶

径向换元 \(u=r^2\) 给出 \(\frac12\Gamma(p+q)\)，角向令 \(z=\cos^2\theta\) 给出 \(\frac12B(p,q)\)。系数合并后

\[ \Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,q), \qquad B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}. \]

所有换元先在远离坐标轴的有界区域完成，再借非负积分的单调扩张取极限。

例题与迁移¶

例 1：整数参数¶

\(B(2,3)=\Gamma(2)\Gamma(3)/\Gamma(5)=1/12\)。

例 2：对称性¶

右端关于 \(p,q\) 对称，再次得到 \(B(p,q)=B(q,p)\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何先在有限区域换元？

答案

经典 Fubini 与换元可直接适用，反常极限随后处理。

即时检验 2¶

Jacobian 可否遗漏？

答案

不可，它决定径向幂次和最终系数。

常见误区与后续¶

极坐标变换还必须变换面积元。
更广参数范围需后续函数论，本章只处理正实参数。

习题与答案¶

习题 1¶

乘积积分位于哪个象限？

答案

第一象限。

习题 2¶

\(x+y\) 换元后是什么？

答案

\(r^2\)。

习题 3¶

角度范围是什么？

答案

\(0<\theta<\pi/2\)。

习题 4¶

Jacobian 是多少？

答案

\(4r^3\sin\theta\cos\theta\)。

习题 5¶

径向积分产生什么？

答案

Gamma 型因子。

习题 6¶

角向积分产生什么？

答案

Beta 型因子。

习题 7¶

写出关系式。

答案

\(B(p,q)=\Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)\)。

习题 8¶

\(B(2,3)\) 是多少？

答案

\(1/12\)。

习题 9¶

为何可以单调扩域？

答案

核非负且有限截断积分单调增加。

习题 10¶

证明的参数条件是什么？

答案

\(p,q>0\)。

答案

该条件同时保证 Gamma 与 Beta 积分收敛。