面积怎样从局部条带与有向积分产生？¶

先备知识¶

设 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续。第 19 章已经证明连续函数 Riemann 可积，且任意网格趋于零的带标记分割都给出同一个积分极限。第 20 章允许在找到原函数后用端点差计算这个极限。

本单元关注的是模型来源：为什么局部条带的高度乘宽度会产生面积，以及积分有符号而几何面积没有符号时应怎样处理。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

从竖条 Riemann 和定义非负函数图像的面积；
区分有向积分与几何面积；
用局部高度差建立两曲线之间面积；
在换号点或交点处分段；
比较“上减下”和“右减左”两种局部贡献；
用非负性、上下界和粗略图形回验结果。

牵引问题¶

把 \([a,b]\) 分成很多小区间，在第 \(i\) 段取样 \(\xi_i\)。矩形

\[ f(\xi_i)\Delta x_i \]

只是局部近似。为什么所有局部近似相加后，会在网格趋零时得到与取样无关的面积？

探索与猜想¶

若 \(f\ge0\)，每个小区间上的真实图形被高度下确界与上确界对应的矩形夹住。于是任意取样矩形和又被 Darboux 下和与上和夹住。连续性使上下和差可以压到任意小，因此条带和的共同极限正适合定义面积。

若 \(f\) 穿过横轴，负条带在积分中会抵消正条带。此时“积分总量”和“纸面上涂色的总面积”已经不是同一个量。

概念与理论¶

Riemann 面积¶

定义。 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(x)\ge0\)。对带标记分割

\[ P:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,\qquad \xi_i\in[x_{i-1},x_i], \]

定义条带和

\[ S(f;P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i. \]

当 \(\lVert P\rVert\to0\) 时，这些和都趋于 Riemann 积分。我们把

\[ A=\lim_{\lVert P\rVert\to0}S(f;P,\xi) =\int_a^b f(x)\,dx \]

称为函数图像、横轴以及直线 \(x=a,x=b\) 围成图形的 Riemann 面积。

这里不是拿面积直觉定义积分：第 19 章已经独立定义积分；现在反过来用已经存在且与取样无关的极限定义这类图形的面积。

有向积分与几何面积¶

若 \(f\) 可正可负，\(\int_a^b f\) 是有向积分：横轴上方贡献为正，下方贡献为负。几何面积则把每段贡献都按非负长度累计：

\[ A_{\mathrm{geom}}=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

实际计算时不能先写绝对值再假装它处处等于同一个初等表达式。应先找出换号点

\[ a=c_0<c_1<\cdots<c_m=b, \]

再在每个 \([c_{j-1},c_j]\) 上确定符号并分段计算。

两曲线之间的面积¶

定理。 设 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(x)\ge g(x)\)。两曲线之间的 Riemann 面积为

\[ A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx. \]

证明。 在第 \(i\) 个小区间取样 \(\xi_i\)。局部竖条的宽为 \(\Delta x_i\)，局部高度差为 \(f(\xi_i)-g(\xi_i)\)，故近似面积为

\[ \bigl(f(\xi_i)-g(\xi_i)\bigr)\Delta x_i. \]

总和正是函数 \(f-g\) 的 Riemann 和。因为 \(f-g\) 连续且非负，网格趋零时和趋于 \(\int_a^b(f-g)\)，这就是面积。证毕。

若上下关系改变，必须先求交点并在各段坚持“上减下”。若图形更容易写成 \(x=r(y)\) 与 \(x=\ell(y)\)，则改用横条并坚持“右减左”：

\[ A=\int_c^d\bigl(r(y)-\ell(y)\bigr)\,dy. \]

积分变量决定局部条带方向；它不是公式中的装饰字母。

例题与迁移¶

例 1：有向积分为零，几何面积不为零¶

令 \(f(x)=x\)，区间为 \([-1,1]\)。由奇函数对称性，

\[ \int_{-1}^{1}x\,dx=0. \]

这表示正负有向贡献抵消。几何面积必须在换号点 \(0\) 分段：

\[ \begin{aligned} A_{\mathrm{geom}} &=\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_0^1x\,dx\\ &=\frac12+\frac12=1. \end{aligned} \]

“积分为零”没有说明图形不存在，只说明有向总量为零。

例 2：交点决定分段¶

求 \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 在 \([0,1]\) 围成的面积。交点由 \(x=x^2\) 得 \(x=0,1\)。在 \((0,1)\) 上有 \(x>x^2\)，所以

\[ A=\int_0^1(x-x^2)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac16. \]

结果为正，且小于外接矩形面积 \(1\)，数量级合理。

例 3：同一图形的横条表示¶

区域由 \(y=x^2\)、\(x=0\) 和 \(y=1\) 围成。竖条需要写 \(\int_0^1(1-x^2)\,dx\)。若用横条，则 \(0\le y\le1\)，右边界 \(x=\sqrt y\)，左边界 \(x=0\)，故

\[ A=\int_0^1\sqrt y\,dy=\frac23. \]

两种表示一致。选择方向的标准是边界是否能在整个积分区间保持单值且不额外分段。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\int_{-2}^{2}(x^3-x)\,dx=0\)。这是否意味着图像与横轴之间的几何面积为零？

答案

不是。被积函数是奇函数，有向积分因对称抵消为零；除非函数恒为零，几何面积 \(\int_{-2}^{2}|x^3-x|\,dx\) 为正。还应在零点 \(-1,0,1\) 分段。

即时检验 2¶

两曲线 \(y=2x\) 与 \(y=x^2\) 在区间 \([0,3]\) 上能否直接用 \(\int_0^3(2x-x^2)\,dx\) 表示几何面积？

答案

不能。两曲线在 \(x=0,2\) 相交；在 \([0,2]\) 上 \(2x\) 在上，在 \([2,3]\) 上 \(x^2\) 在上。必须写

\[ \int_0^2(2x-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-2x)\,dx. \]

习题与答案¶

练习 1：常符号函数¶

求 \(y=4-x^2\) 在 \([-2,2]\) 上与横轴围成的面积，并给出一个无需精算的上界。

答案

函数非负，所以面积

\[ \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx =2\int_0^2(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}. \]

因高度不超过 \(4\)、底长为 \(4\)，面积不超过 \(16\)；结果满足此界。

练习 2：换号点¶

求 \(f(x)=x^2-1\) 在 \([-2,2]\) 上图像与横轴之间的几何面积。

答案

换号点为 \(-1,1\)。由偶性，

\[ A=2\left(\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx\right) =2\left(\frac23+\frac43\right)=4. \]

练习 3：两曲线交点¶

求 \(y=2-x\) 与 \(y=x^2\) 围成的有限区域面积。

答案

交点满足 \(x^2=2-x\)，即 \(x=-2,1\)。区间内部直线在上：

\[ A=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx=\frac92. \]

练习 4：横条还是竖条¶

区域由 \(x=y^2\) 与 \(x=2y\) 围成。选择较自然的积分变量并建立面积模型。

答案

交点由 \(y^2=2y\) 得 \(y=0,2\)。横条无需反解分支，右边界为 \(2y\)，左边界为 \(y^2\)：

\[ A=\int_0^2(2y-y^2)\,dy=\frac43. \]

练习 5：参数边界¶

设 \(c>0\)。求 \(y=c-x^2\) 与横轴围成的面积，并检查尺度。

答案

零点为 \(\pm\sqrt c\)：

\[ A=\int_{-\sqrt c}^{\sqrt c}(c-x^2)\,dx =\frac43c^{3/2}. \]

横向尺度为 \(\sqrt c\)，纵向尺度为 \(c\)，面积应按 \(c^{3/2}\) 缩放，吻合。

练习 6：首个非法步骤¶

某解答写道：“\(y=x\) 与 \(y=x^3\) 在 \([-2,2]\) 之间的面积为 \(\int_{-2}^{2}(x-x^3)\,dx=0\)。”指出首个非法步骤并修正模型。

答案

首个非法步骤是默认 \(x-x^3\) 在全区间都是“上减下”。交点为 \(-1,0,1\)，上下关系多次改变。几何面积应写为

\[ \int_{-2}^{-1}(x^3-x)\,dx+ \int_{-1}^{0}(x-x^3)\,dx+ \int_0^1(x-x^3)\,dx+ \int_1^2(x^3-x)\,dx. \]

每项均非负，故不可能因有向抵消得到零。

常见误区与后续¶

把 \(\int f\) 一律叫“面积”，会掩盖有向抵消；
没有先找换号点或交点，就无法保证局部贡献非负；
“上减下”“右减左”必须与条带方向配套；
数值绘图只能帮助发现可能的交点，不能替代交点方程和符号证明。

本单元只建立平面条带模型。下一单元把“局部面积乘厚度”用于有限立体；曲面面积、参数曲线和多重积分不属于本章核心。