截面怎样重建立体体积？¶

先备知识¶

第 21.1 单元把平面图形切成局部条带。本单元把同一思想升高一维：在位置 \(x\) 处，若垂直于 \(x\) 轴的截面面积是 \(A(x)\)，厚度为 \(\Delta x\) 的薄片就贡献约 \(A(x)\Delta x\) 的体积。

我们默认截面面积或壳高在有限闭区间上连续。圆、圆环和柱体体积公式属于先备几何，但任何积分公式都要重新从分割近似推出。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

从截面体积和建立 \(V=\int A\)；
把圆盘和垫片看成一般截面法的特例；
正确区分外半径与内半径；
从圆环体积推导柱壳公式；
分别控制壳高振幅误差与半径二次余项；
比较垫片与柱壳的积分变量和分段成本。

牵引问题¶

“薄片体积约等于截面面积乘厚度”还不是证明。怎样说明所有薄片近似在网格趋零时拥有共同极限？柱壳的周长乘高度乘厚度又漏掉了什么，漏掉的量为什么真的趋于零？

探索与猜想¶

把 \([a,b]\) 分成小区间，在第 \(i\) 段取样 \(\xi_i\)。柱形薄片和为

\[ \sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta x_i. \]

这正是 \(A\) 的 Riemann 和。只要截面面积连续，极限就与取样无关。

柱壳稍微不同：半径从 \(r_i\) 增到 \(r_i+\Delta r_i\) 时，真实圆环面积含有 \((\Delta r_i)^2\) 项；壳高也会在小区间内变化。严格推导必须同时压小这两类误差。

概念与理论¶

一般截面体积¶

定理。 设有限立体在 \(x\in[a,b]\) 处垂直于 \(x\) 轴的截面面积为连续函数 \(A(x)\ge0\)。该立体的截面体积定义为

\[ V=\lim_{\lVert P\rVert\to0} \sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta x_i =\int_a^b A(x)\,dx. \]

理由。 每个薄片被看作底面积 \(A(\xi_i)\)、厚度 \(\Delta x_i\) 的柱体。因为 \(A\) 连续，它 Riemann 可积，且所有网格趋零的取样和都有同一极限。这个极限把有限薄片近似提升为与具体分割无关的体积模型。

若截面垂直于 \(y\) 轴，则完全类似地写成 \(\int A(y)\,dy\)。积分变量必须与厚度方向一致。

圆盘与垫片¶

若截面是半径 \(R(x)\ge0\) 的圆盘，则

\[ A(x)=\pi R(x)^2,\qquad V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx. \]

若截面是外半径 \(R(x)\)、内半径 \(r(x)\) 的圆环，且

\[ 0\le r(x)\le R(x), \]

则

\[ A(x)=\pi\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr), \]

从而

\[ V=\pi\int_a^b\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx. \]

先平方再相减来自“外圆面积减内圆面积”。把它写成 \(\pi(R-r)^2\) 会丢失圆环的大部分面积。

柱壳余项控制¶

设区域用半径变量 \(r\in[a,b]\) 描述，壳高 \(h(r)\ge0\) 连续。对分割 \(P\)，记第 \(i\) 段长度为 \(\Delta r_i\)，左端点为 \(r_i\)。该半径带旋转后，壳高并非常数。令

\[ m_i=\inf_{[r_i,r_i+\Delta r_i]}h,\qquad M_i=\sup_{[r_i,r_i+\Delta r_i]}h. \]

真实体积被高为 \(m_i\) 与 \(M_i\) 的两个圆环柱夹住。圆环柱体积展开为

\[ \begin{aligned} \pi\bigl((r_i+\Delta r_i)^2-r_i^2\bigr)h_i &=2\pi r_i h_i\Delta r_i +\pi h_i(\Delta r_i)^2. \end{aligned} \]

设 \(0\le h\le M\)。所有二次余项满足

\[ \sum_i\pi M(\Delta r_i)^2 \le \pi M\lVert P\rVert\sum_i\Delta r_i =\pi M\lVert P\rVert(b-a)\longrightarrow0. \]

另一方面，\(h\) 在闭区间上一致连续。若网格小于 \(\delta\)，每段振幅 \(M_i-m_i\) 都小于统一的 \(\omega_h(\delta)\)，故上下壳和之差可由

\[ \text{常数}\cdot \omega_h(\delta)(b-a) \]

控制并趋于零。因此壳高振幅误差与二次余项都不会留在极限中。

柱壳公式¶

在上面的条件下，绕半径零轴旋转所得体积为

\[ V=2\pi\int_a^b r\,h(r)\,dr. \]

证明。 上下圆环柱和由引理夹到同一极限；去掉趋零的二次余项后，剩余主项是

\[ \sum_i2\pi r_i h(\xi_i)\Delta r_i, \]

即连续函数 \(2\pi r h(r)\) 的 Riemann 和。证毕。

公式中的 \(2\pi r\) 是壳周长，\(h(r)\) 是壳高，\(dr\) 是径向厚度。三者相乘的单位是体积。

例题与迁移¶

例 1：正方形截面¶

某立体在 \(x\in[0,1]\) 处的截面是边长 \(1-x\) 的正方形。于是

\[ A(x)=(1-x)^2, \qquad V=\int_0^1(1-x)^2\,dx=\frac13. \]

若长度单位为米，截面面积单位为平方米，积分后单位为立方米。

例 2：圆盘与垫片¶

把 \(0\le y\le\sqrt x\)、\(0\le x\le1\) 绕 \(x\) 轴旋转。每个截面是半径 \(\sqrt x\) 的圆盘：

\[ V=\pi\int_0^1(\sqrt x)^2\,dx=\frac{\pi}{2}. \]

若区域改为 \(x\le y\le\sqrt x\)，则内半径为 \(x\)、外半径为 \(\sqrt x\)，必须用垫片

\[ \pi\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{\pi}{6}. \]

例 3：柱壳¶

把 \(0\le y\le1-r\)、\(0\le r\le1\) 绕 \(y\) 轴旋转。半径为 \(r\)，壳高为 \(1-r\)：

\[ V=2\pi\int_0^1r(1-r)\,dr =2\pi\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{\pi}{3}. \]

该区域旋转后是高为 \(1\)、底半径为 \(1\) 的圆锥，几何公式也给出 \(\pi/3\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

绕 \(x\) 轴旋转时，外半径为 \(R\)、内半径为 \(r\)。为什么截面面积不是 \(\pi(R-r)^2\)？

答案

截面是外圆去掉内圆，面积为 \(\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)\)。 \(\pi(R-r)^2\) 把“半径差”误当成整个圆的半径，没有描述圆环。

即时检验 2¶

柱壳推导中只证明 \((\Delta r_i)^2\to0\) 是否足够？

答案

不足够。区间数同时增加，必须控制余项总和。利用

\[ \sum_i(\Delta r_i)^2 \le\lVert P\rVert\sum_i\Delta r_i =\lVert P\rVert(b-a)\to0 \]

才能排除累积误差；还需另行控制壳高在每段的振幅。

习题与答案¶

练习 1：三角形截面¶

立体在 \(x\in[0,2]\) 处的截面是直角等腰三角形，两直角边长均为 \(x\)。求体积。

答案

截面面积 \(A(x)=x^2/2\)，所以

\[ V=\int_0^2\frac{x^2}{2}\,dx=\frac43. \]

练习 2：半圆截面¶

底面为 \(0\le y\le1-x^2\)、\(-1\le x\le1\)。垂直于 \(x\) 轴的截面是以底面竖向宽度为直径的半圆。建立体积模型。

答案

直径 \(d(x)=1-x^2\)，半径为 \(d/2\)，截面面积

\[ A(x)=\frac12\pi\left(\frac{1-x^2}{2}\right)^2 =\frac{\pi}{8}(1-x^2)^2. \]

因而 \(V=\frac{\pi}{8}\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx\)。

练习 3：圆盘法¶

把 \(y=x^2\)、\(0\le x\le1\) 与横轴之间的区域绕 \(x\) 轴旋转。求体积。

答案

半径 \(R(x)=x^2\)，故

\[ V=\pi\int_0^1x^4\,dx=\frac{\pi}{5}. \]

练习 4：垫片法¶

把 \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 在 \([0,1]\) 之间的区域绕 \(x\) 轴旋转。求体积。

答案

外半径为 \(x\)，内半径为 \(x^2\)：

\[ V=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx =\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}. \]

练习 5：柱壳法¶

把 \(0\le y\le x\)、\(0\le x\le2\) 绕 \(y\) 轴旋转。用柱壳法求体积。

答案

半径 \(x\)，壳高 \(x\)：

\[ V=2\pi\int_0^2x^2\,dx=\frac{16\pi}{3}. \]

练习 6：方法比较¶

把 \(0\le y\le\sqrt x\)、\(0\le x\le1\) 绕 \(y\) 轴旋转。分别建立垫片与柱壳模型。

答案

柱壳以 \(x\) 为变量：

\[ V=2\pi\int_0^1x\sqrt x\,dx. \]

垫片以 \(y\) 为变量；在高度 \(y\) 处，区域从 \(x=y^2\) 到 \(x=1\)，外半径 \(1\)、内半径 \(y^2\)：

\[ V=\pi\int_0^1(1-y^4)\,dy. \]

两式都等于 \(4\pi/5\)。

练习 7：余项界¶

设 \(0\le h\le5\)，区间长度为 \(3\)，分割网格不超过 \(10^{-3}\)。柱壳二次余项总和最多是多少？

答案

由引理，

\[ \sum_i\pi h_i(\Delta r_i)^2 \le\pi\cdot5\cdot10^{-3}\cdot3 =0.015\pi. \]

这是余项总和的界，不是单个余项的界。

练习 8：错误诊断¶

某解答把区域 \(1\le y\le2-x^2\) 绕 \(x\) 轴旋转，直接写 \(\pi\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}((2-x^2)^2-1)\,dx\)。指出首个边界错误。

答案

区域存在要求 \(2-x^2\ge1\)，即 \(|x|\le1\)，而不是 \(|x|\le\sqrt2\)。正确模型为

\[ \pi\int_{-1}^{1}\bigl((2-x^2)^2-1\bigr)\,dx. \]

外半径 \(2-x^2\)、内半径 \(1\) 在此区间满足顺序条件。

常见误区与后续¶

截面面积必须与厚度方向垂直；
垫片先确定旋转轴到两条边界的距离，再判断外半径与内半径；
柱壳的“周长×高度×厚度”是主项，振幅误差和二次余项都必须受控；
图形软件可帮助理解截面，但不能替代区间和半径条件。

本单元只处理有限立体。曲面面积、参数曲线、多重积分和无界区域不进入本章核心。