积分端点随参数变化时，边界项从哪里产生？¶

先备知识¶

熟悉微积分基本定理、链式法则与固定端点求导公式。

学习目标¶

能推导变端点公式，并从几何方向判断两个边界项符号。

牵引问题¶

上、下端点移动时，新增或删去的薄片怎样进入导数？

探索与猜想¶

上端点右移增加面积，下端点右移删去面积，所以符号应相反。

概念与理论¶

变端点 Leibniz 公式¶

设 \(a,b\) 可微，\(f,\partial_t f\) 在相关闭区域附近连续。令

\[ F(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx. \]

则

\[ F'(t)=f(b(t),t)b'(t)-f(a(t),t)a'(t) +\int_{a(t)}^{b(t)}\partial_t f(x,t)\,dx. \]

上端点贡献为正，下端点贡献为负；端点速度本身仍可带正负号。

链式法则推导¶

固定参考点 \(c\)，写成

\[ F(t)=\int_c^{b(t)}f(x,t)\,dx-\int_c^{a(t)}f(x,t)\,dx. \]

分别对两个积分使用链式法则：端点变化给出函数值乘端点速度，被积函数变化给出偏导的积分。相减后公共参考段合并为原区间。

符号审计¶

令 \(f\equiv1\)，公式必须退化为 \((b-a)'=b'-a'\)。这是最快的符号检查。

例题与迁移¶

例 1：只有上端点移动¶

\[ \frac d{dt}\int_0^{t}x^2\,dx=t^2. \]

例 2：端点与核同时变化¶

对 \(F(t)=\int_0^t e^{tx}\,dx\)，

\[ F'(t)=e^{t^2}+\int_0^t xe^{tx}\,dx. \]

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

下端点项为何带减号？

答案

下端点向右移动会从积分区间删去薄片。

即时检验 2¶

\(b'(t)<0\) 时上端点贡献怎样？

答案

公式仍是 \(f(b,t)b'\)，数值符号由函数值与速度共同决定。

常见误区与后续¶

不要遗漏核本身随参数变化产生的积分项。
更高维移动边界需要额外几何工具，本单元只处理一维变端点。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(\frac d{dt}\int_0^{t^2}x\,dx\)。

答案

\(t^2\cdot2t=2t^3\)。

习题 2¶

求 \(\frac d{dt}\int_t^1x^2\,dx\)。

答案

\(-t^2\)。

习题 3¶

\(f\equiv1\) 时公式化为什么？

答案

\(F'=b'-a'\)。

习题 4¶

固定端点时哪些项消失？

答案

两个边界速度项消失。

习题 5¶

核不含 \(t\) 时哪项消失？

答案

偏导积分项消失。

习题 6¶

求 \(\frac d{dt}\int_{-t}^{t}x^2\,dx\)。

答案

\(2t^2\)。

习题 7¶

为什么引入固定参考点？

答案

它把两个变端点拆成两个单端点问题。

习题 8¶

写出下端点边界项。

答案

\(-f(a(t),t)a'(t)\)。

习题 9¶

端点交叉时能否无条件沿用？

答案

应先限定参数区间并明确有向积分约定。

习题 10¶

给出一个符号快速检查。

答案

代入 \(f\equiv1\)，检查是否得到 \(b'-a'\)。