局部连续何时升级为全局一致控制？¶
先备知识¶
一点连续允许控制半径依赖中心点；11.1 已证明闭区间中的每条数列都有收敛到区间内 一点的子列。你还需要会使用三角不等式证明两条距离趋零的点列拥有同一极限。
学习目标¶
- 按正确量词顺序定义一致连续；
- 写出不一致连续的完整否定；
- 用序列紧致性证明 Heine–Cantor 定理；
- 用成对点列检验非紧致定义域上的失败。
牵引问题¶
若每个位置都能找到自己的控制半径，是否能为整个区间选一个共同采样间距？普通连续 没有给出这种承诺；一致连续要求半径只依赖目标误差，不依赖正在观察的点。
探索与猜想¶
若不存在统一半径，就会有一个固定输出误差 \(\varepsilon_0\)，无论把输入距离压到 多小，都能找到一对“坏点”。依次把距离压到 \(1/n\)，便得到两列越来越靠近的坏点。 闭区间迫使其中一列出现收敛子列，另一列也会被拖到同一极限，最终与连续性冲突。
概念与理论¶
定义：一致连续¶
函数 \(f:D\to\mathbb R\) 称为在 \(D\) 上一致连续，若 [ \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in D,\qquad |x-y|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \tag{11.3} ]
这里 \(\delta\) 可以依赖 \(\varepsilon\) 和整个函数，但不能依赖随后选择的 \(x,y\)。与逐点连续比较： [ \forall a\in D\;\forall\varepsilon>0\;\exists\delta(a,\varepsilon)>0 \;\forall x\in D. ] 一致连续把 \(\exists\delta\) 移到所有中心点之前。
一致连续必推出每一点连续：固定 \(a\in D\)，在 (11.3) 中令 \(y=a\) 即可。 反向一般不成立。
命题：不一致连续的否定形式¶
\(f\) 在 \(D\) 上不一致连续，当且仅当存在 \(\varepsilon_0>0\)，使对每个 \(\delta>0\)，都存在 \(x,y\in D\) 满足 [ |x-y|<\delta,\qquad |f(x)-f(y)|\ge\varepsilon_0. ]
说明。 否定“对每个 \(\varepsilon\) 存在一个统一 \(\delta\)”时，必须先固定 一个失败的 \(\varepsilon_0\)；坏点对可以随 \(\delta\) 改变。把 \(\delta=1/n\) 依次代入，可得 [ |x_n-y_n|<\frac1n,\qquad |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0. \tag{11.4} ]
定理：Heine–Cantor¶
若 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 连续，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上一致连续。
证明。 反设 \(f\) 不一致连续。由否定形式，存在固定 \(\varepsilon_0>0\) 和两列 \(x_n,y_n\in[a,b]\)，满足 (11.4)。
由闭区间序列紧致性，\((x_n)\) 有子列 [ x_{n_k}\to c\in[a,b]. ] 又因为 [ |y_{n_k}-c| \le |y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-c| <\frac1{n_k}+|x_{n_k}-c|\to0, ] 所以 \(y_{n_k}\to c\)。
函数在 \(c\) 连续，故 [ f(x_{n_k})\to f(c),\qquad f(y_{n_k})\to f(c). ] 于是 [ |f(x_{n_k})-f(y_{n_k})| \le |f(x_{n_k})-f(c)|+|f(y_{n_k})-f(c)|\to0, ] 这与它始终不小于 \(\varepsilon_0\) 矛盾。因此 \(f\) 一致连续。\(\square\)
证明只需在抽出的公共极限点 \(c\) 使用一点连续；序列紧致性把假想的全局失败集中到 这个局部点，从而产生矛盾。
判据：成对点列证伪¶
若存在 \(x_n,y_n\in D\)，使 [ |x_n-y_n|\to0 ] 但 \(|f(x_n)-f(y_n)|\) 不趋于 \(0\)，则 \(f\) 在 \(D\) 上不一致连续。
证明。 若 \(f\) 一致连续，给定任意 \(\varepsilon>0\)，统一半径 \(\delta\) 对所有点对有效。充分大的 \(n\) 满足 \(|x_n-y_n|<\delta\)，从而 \(|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon\)，这会迫使输出差趋于零，矛盾。\(\square\)
例题与迁移¶
例题 1：直接给出统一半径¶
证明 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,2]\) 上一致连续。
证明。 对 \(x,y\in[0,2]\)， [ |x^2-y^2|=|x-y|\,|x+y|\le4|x-y|. ] 给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/4\)。若 \(|x-y|<\delta\)，则输出差小于 \(\varepsilon\)。这个 \(\delta\) 与点的位置 无关。\(\square\)
例题 2：开区间上的倒数¶
证明 \(f(x)=1/x\) 在 \((0,1)\) 上不一致连续。
证明。 取 [ x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{n+1}. ] 则 [ |x_n-y_n|=\frac1{n(n+1)}\to0, ] 但 [ |f(x_n)-f(y_n)|=|n-(n+1)|=1. ] 由成对点列判据，函数不一致连续。坏点向缺失端点 \(0\) 聚集。\(\square\)
即时检验与回望¶
即时检验 1：否定中为什么固定同一个 \(\varepsilon_0\)？¶
答案
若允许输出阈值也随 \(n\) 趋于零，就不能证明存在某种不可消除的统一失败。 不一致连续的逻辑否定要求先找到一个固定正误差，再说明任何输入半径都挡不住它。
即时检验 2：为什么只从 \(x_n\) 抽子列就够？¶
答案
成对距离满足 \(|x_n-y_n|\to0\)。若 \(x_{n_k}\to c\)，三角不等式给出 [ |y_{n_k}-c|\le|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-c|\to0, ] 所以配对的 \(y_{n_k}\) 自动趋于同一个 \(c\)。
习题与答案¶
习题 1：恒等函数¶
证明 \(f(x)=x\) 在 \(\mathbb R\) 上一致连续。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)。任意 \(x,y\in\mathbb R\) 满足 \(|x-y|<\delta\) 时， [ |f(x)-f(y)|=|x-y|<\varepsilon. ]
习题 2：平方函数在实轴失败¶
证明 \(x^2\) 在 \(\mathbb R\) 上不一致连续。
答案
取 \(x_n=n\)、\(y_n=n+1/n\)。输入差为 \(1/n\to0\)，但 [ y_n^2-x_n^2 =2+\frac1{n^2}\to2. ] 输出差不趋于零，所以不一致连续。
习题 3：一致连续推出连续¶
直接从定义证明一致连续函数在定义域每一点连续。
答案
固定任意 \(a\in D\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取一致连续性提供的统一 \(\delta\)。若 \(x\in D\) 且 \(|x-a|<\delta\)，在定义中令 \(y=a\)，即得 \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)。故 \(f\) 在 \(a\) 连续。
习题 4：平方根的统一估计¶
用 [ |\sqrt{x}-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|} ] 证明平方根函数在 \([0,\infty)\) 上一致连续。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。若 \(x,y\ge0\) 且 \(|x-y|<\delta\)，则 [ |\sqrt{x}-\sqrt y| \le\sqrt{|x-y|} <\sqrt{\delta}=\varepsilon. ] 半径与 \(x,y\) 无关。
习题 5：有界不等于一致连续¶
函数 \(f(x)=\sin(1/x)\) 在 \((0,1)\) 上有界。说明有界性为什么不能推出一致连续。
答案
取 [ x_n=\frac1{\pi/2+2\pi n},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n}. ] 两列都趋于 \(0\)，所以 \(|x_n-y_n|\to0\)，但 \(f(x_n)=1\)、\(f(y_n)=-1\)，输出差恒为 \(2\)。函数虽有界，却不一致连续。
常见误区与后续¶
- 一致连续不是“在每一点都连续”的同义改写，关键是控制半径不依赖点。
- 否定时必须固定一个正的输出差下界。
- 从一列抽子列后，另一列必须保留相同指标才能利用配对距离。
- Heine–Cantor 给出存在性，不一定给出最优或显式的统一半径。
本章已经把闭区间中的无限点列压缩为收敛子列，并由此得到有界、最值与一致连续三个 整体结论。下一章将把连续性用于存在性证明和带误差证书的求解过程。