正部、负部怎样定义一般函数的积分？¶

先备知识¶

熟悉可测函数运算和非负函数积分。

学习目标¶

用正负部分解处理符号，同时准确标记积分未定义的边界。

牵引问题¶

正面积与负面积都无穷时，能否宣称它们“抵消”？

探索与猜想¶

先分别测量正部与负部，只在扩展实数减法有意义时组合。

概念与理论¶

分解¶

定义 \(f^+=\max(f,0)\)、\(f^-=\max(-f,0)\)，则二者非负可测，且 \(f=f^+-f^-\)、\(|f|=f^++f^-\)、\(f^+f^-=0\)。

一般积分¶

若 \(\int f^+dm\) 与 \(\int f^-dm\) 至少一个为有限值，定义

若二者都是 +∞，则出现 \(\infty-\infty\)，积分未定义；选择对称截断得到某个数 并不能改变这一事实。

与非负定义兼容¶

若 f≥0，则 f^-=0，新定义退回非负积分。若两部分都有限，积分为有限实数。

例题与迁移¶

例 1：有限符号阶梯¶

在等测度两块上分别取 2 和 -1，积分就是两块贡献的代数和。

例 2：未定义积分¶

实轴上的 f(x)=x，其正部、负部积分都无穷，因此全空间积分未定义。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

积分为 -∞ 合法吗？

即时检验 2¶

主值存在是否等于 Lebesgue 积分存在？

常见误区与后续¶

• “函数可测”不自动保证其积分有定义。
• 不给 \(\infty-\infty\) 任意赋值。

习题与答案¶

习题 1¶

写出正部公式。

习题 2¶

写出负部公式。

习题 3¶

如何恢复 f？

习题 4¶

如何表示 |f|？

习题 5¶

两部分会同时为正吗？

习题 6¶

何时积分有限？

习题 7¶

何时积分为 +∞？

习题 8¶

何时积分未定义？

习题 9¶

对称主值能修复未定义吗？

习题 10¶

非负函数是否兼容旧定义？