Gauss 公式怎样分析流量、电通量与奇点？¶

先备知识¶

掌握 Gauss 公式、球面外法向与反向取向。

学习目标¶

能检查应用条件，尤其能先挖孔、确定内边界法向，再单独取极限。

牵引问题¶

场在一点不光滑时，为何远处闭曲面仍可能测到固定通量？

探索与猜想¶

奇点不能被定理“穿过”；挖去小邻域后，外边界通量由新增内边界记录。

概念与理论¶

不可压缩与电通量模型¶

若速度场 \(v\) 在允许区域邻域内 \(C^1\)，且质量密度恒定，则 \(\operatorname{div}v=0\) 是不可压缩模型的局部条件，Gauss 公式给出任一允许闭域净流量为零。 对电场 \(E\)，曲面积分 \(\iint E\cdot n\,dS\) 称电通量；“电荷产生通量”是模型解释，不能替代正则性与定理条件。

奇点处理规则¶

若 \(F\) 在 \(p\) 不定义，先挖去以 \(p\) 为中心的小立方体。只在所得穿孔域是 40.3 的长方体复形时应用 Gauss 公式。内边界法向相对小立方体自身的外法向为负。先写每个 \(\varepsilon>0\) 的等式，再单独研究 \(\varepsilon\to0\) 的极限。

取向检查¶

外边界沿区域向外；内边界却指向洞内。小立方体每一面的穿孔域法向，都是该小立方体 自身外法向的负向。

边界¶

本章不使用分布、弱导数或点电荷方程；只计算经典场在去奇点域上的通量。

例题与迁移¶

例 1：不可压缩剪切¶

\(v=(y,0,0)\) 满足 \(\operatorname{div}v=0\)。对任一本章允许闭域，净流量为 \(0\)；这不意味着每一块边界通量都为零。

例 2：点源与挖孔¶

令

令 \(Q_a=[-a,a]^3\)，取立方壳穿孔域 \(\Omega_\varepsilon=Q_R\setminus\operatorname{int}Q_\varepsilon\)。它可精确切成六个 轴对齐长方体，故是 40.3 的长方体复形；场在其邻域正则且 \(\operatorname{div}F=0\)。

先直接算小立方体自身的外通量。在面 \(x=\varepsilon\) 上，缩放 \(y=\varepsilon u,z=\varepsilon v\) 得

这里先对 \(u\) 积分得到 \(2/((1+v^2)\sqrt{2+v^2})\)，再令 \(v=\tan\theta\)，端点变为 \(\theta=\pm\pi/4\)；所得积分是 \(2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos\theta/\sqrt{1+\cos^2\theta}\,d\theta=2\pi/3\)。

六面由对称性各给 \(2\pi/3\)，总和为 \(4\pi\)，且与 \(\varepsilon\) 无关。立方壳的 内边界法向相对小立方体自身为负，故内边界通量是 \(-4\pi\)。逐块 Gauss 公式给出外立方体 通量为 \(4\pi\)。对每个 \(\varepsilon>0\) 等式都成立；随后单独令 \(\varepsilon\to0\)，内边界通量极限仍为 \(-4\pi\)。不能把奇点留在域内套公式。

作为独立核验，半径 \(R\) 的球面上 \(F\cdot e_r=1/R^2\)，所以球面通量只由曲面积分定义直接计算为 \((1/R^2)4\pi R^2=4\pi\)。这里不在球或球壳上调用本章尚未证明的曲边 Gauss 公式。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

立方壳内边界的法向为何与小立方体自身外法向相反？

即时检验 2¶

\(\operatorname{div}F=0\) 为何未使点源外球通量为零？

常见误区与后续¶

• 先检查 \(C^1\) 邻域条件，再使用 Gauss 公式。
• “不可压缩”“电荷”只是模型名称，不自动证明数学假设。
• 极限在穿孔域等式之后处理，不把极限过程藏进定理。

习题与答案¶

习题 1¶

\(v=(x,-y,0)\) 是否满足不可压缩局部条件？

习题 2¶

散度零是否要求每个边界片通量为零？

习题 3¶

球面 \(S_R\) 上点源场的法向分量是多少？

习题 4¶

点源场在 \(S_R\) 上通量是多少？

习题 5¶

立方壳内边界通量是多少？

习题 6¶

能否在 \(B_R(0)\) 上直接使用经典 Gauss 公式？

习题 7¶

为何先固定 \(\varepsilon>0\)？

习题 8¶

若把内边界误取小立方体自身外法向，总通量会错误得到多少？

习题 9¶

\(v=(y,z,x)\) 的净流量结论是什么？

习题 10¶

电通量名称是否证明场满足 Gauss 公式条件？

习题 11¶

本页是否使用点源的分布散度？